Критерий Попова

Критерий Попо́ва — математическое понятие, условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка критерия

Рассматривается следующая система управления^[1]:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx,}$

${\displaystyle u=-\psi (y),}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle u,y\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A,B,C}$ — матрицы подходящих размерностей, ${\displaystyle \psi }$ — нелинейная функция со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Предполагается, что

• матрица ${\displaystyle A}$ — гурвицева,
• пара ${\displaystyle (A,B)}$ управляема,
• пара ${\displaystyle (A,C)}$ наблюдаема,
• функция ${\displaystyle \psi }$ лежит в секторе ${\displaystyle [0,k]}$ для некоторого положительного числа ${\displaystyle k}$, то есть

${\displaystyle \psi (y)[\psi (y)-ky]\leqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .}$

Тогда если найдётся такое неотрицательное число ${\displaystyle \eta }$, что число ${\displaystyle -1/\eta }$ не является собственным числом ${\displaystyle A}$ и

${\displaystyle {\mbox{Re}}\left(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} ,}$

где ${\displaystyle G(s)=C(sE-A)^{-1}B}$ — передаточная функция системы, то система абсолютно устойчива, то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью ${\displaystyle \psi }$, удовлетворяющей секторному условию^[2][3].

С использованием формулы ${\displaystyle G(i\omega )={\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)+i{\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)}$ можно привести указанное неравенство к следующему виду:

${\displaystyle {\dfrac {1}{k}}+{\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)-\eta \omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .}$

Если построить график левой части неравенства как функции от ${\displaystyle \omega }$, используя в качестве оси абсцисс ${\displaystyle {\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)}$, а в качестве оси ординат ${\displaystyle \omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)}$, то неравенство будет выполняться, если график будет лежать справа от прямой, проходящей через точку ${\displaystyle (-1/k,0)}$ с угловым коэффициентом ${\displaystyle 1/\eta }$. Такой способ изображения называется годографом Попова (сравни с годографом Найквиста)^[4].