Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента^[1].

Если два оператора ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle N}$ имеют коммутатор:

${\displaystyle [N,X]=cX}$

для некоторого скаляра ${\displaystyle c}$, то оператор ${\displaystyle X}$ действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора ${\displaystyle N}$ на ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle N\circ X|n\rangle }$	${\displaystyle {}=(XN+[N,X])|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=(XN+cX)|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=XN|n\rangle +cX|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=Xn|n\rangle +cX|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=(n+c)X|n\rangle }$.

Другими словами, если ${\displaystyle |n\rangle }$ является собственным вектором оператора ${\displaystyle N}$ с собственным значением ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle X|n\rangle }$ — собственное состояние ${\displaystyle N}$ с собственным значением ${\displaystyle n+c}$. Повышающий оператор для ${\displaystyle N}$ — оператор ${\displaystyle X}$, для которого ${\displaystyle c}$ является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число ${\displaystyle c}$ вещественное отрицательное.

Если ${\displaystyle N}$ — эрмитов оператор, то ${\displaystyle c}$ должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от ${\displaystyle X}$ подчиняется следующему коммутационному соотношению:

${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }}$.

Также верно, что если ${\displaystyle X}$ является понижающим оператором для ${\displaystyle N}$, то ${\displaystyle X^{\dagger }}$ — повышающий оператор ${\displaystyle N}$ (и обратное тоже верно).