Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ называется сопряжённым линейному преобразованию ${\displaystyle \varphi }$, если для любых векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ выполнено равенство ${\displaystyle \left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)}$. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой ${\displaystyle A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }$, если пространство евклидово, и формулой ${\displaystyle A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}}$ в унитарном пространстве. ${\displaystyle \Gamma }$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$ и ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}$ соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть ${\displaystyle E,\,L}$ — линейные пространства, а ${\displaystyle E^{*},\,L^{*}}$ — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на ${\displaystyle E,\,L}$). Тогда для любого линейного оператора ${\displaystyle A\colon E\to L}$ и любого линейного функционала ${\displaystyle g\in L^{*}}$ определён линейный функционал ${\displaystyle f\in E^{*}}$ — суперпозиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle f(x)=g(A(x))}$. Отображение ${\displaystyle g\mapsto f}$ называется сопряжённым линейным оператором и обозначается ${\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}$.

Если кратко, то ${\displaystyle (A^{*}g,x)=(g,Ax)}$, где ${\displaystyle (B,x)}$ — действие функционала ${\displaystyle B}$ на вектор ${\displaystyle x}$.

Топологическое линейное пространство

Пусть ${\displaystyle E,\,L}$ — топологические линейные пространства, а ${\displaystyle E^{*},\,L^{*}}$ — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на ${\displaystyle E,\,L}$). Для любого непрерывного линейного оператора ${\displaystyle A\colon E\to L}$ и любого непрерывного линейного функционала ${\displaystyle g\in L^{*}}$ определён непрерывный линейный функционал ${\displaystyle f\in E^{*}}$ — суперпозиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle f(x)=g(A(x))}$. Нетрудно проверить, что отображение ${\displaystyle g\mapsto f}$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также ${\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}$.

Банахово пространство

Пусть ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства ${\displaystyle X}$ в банахово пространство ${\displaystyle Y}$^[1] и пусть ${\displaystyle X^{*},Y^{*}}$ — сопряжённые пространства. Обозначим ${\displaystyle \forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)}$. Если ${\displaystyle f}$ — фиксировано, то ${\displaystyle [Ax,f]}$ — линейный непрерывный функционал в ${\displaystyle X,[Ax,f]\in X^{*}}$. Таким образом, для ${\displaystyle \forall f\in Y^{*}}$ определён линейный непрерывный функционал из ${\displaystyle X^{*}}$, поэтому определён оператор ${\displaystyle A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}}$, такой что ${\displaystyle [Ax,f]=[x,A^{*}f]}$.

${\displaystyle A^{*}}$ называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для ${\displaystyle A^{*}}$ справедливы следующие свойства:

• Оператор ${\displaystyle A^{*}}$ — линейный.
• Если ${\displaystyle A}$ — линейный непрерывный оператор, то ${\displaystyle A^{*}}$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть ${\displaystyle O}$ — нулевой оператор, а ${\displaystyle E}$ — единичный оператор. Тогда ${\displaystyle O^{*}=O,E^{*}=E}$.
• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$.
• ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}}$.
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$.
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора ${\displaystyle A\colon H\to H}$ равенство ${\displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)}$ определяет сопряжённый оператор ${\displaystyle A^{*}\colon H\to H}$. Здесь ${\displaystyle (x,y)}$ — скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$.

См. также

• Эрмитов оператор