Логарифмическая система счисления

Логарифмическая система счисления (LNS) — это арифметическая система, иногда используемая для представления вещественных чисел в компьютере и в цифровых аппаратных средствах, особенно в цифровой обработке сигналов.

Функции:. ${\displaystyle s_{b}(z)}$ и ${\displaystyle d_{b}(z)}$

Теория

В LNS число ${\displaystyle X}$ представлено логарифмом следующим образом:

${\displaystyle X\rightarrow \{s,x=\log _{b}(|X|)\},}$

где ${\displaystyle x}$ - его абсолютное значение; ${\displaystyle s}$ обозначающий знак ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle s=0}$ если ${\displaystyle X>0}$ и ${\displaystyle s=1}$ если ${\displaystyle X<0}$).

Эта формулировка упрощает операции умножения, деления, возведения в степень, так как они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению, соответственно. С другой стороны, операции сложения и вычитания в такой форме записи оказываются более сложными, и они рассчитываются по формулам:

${\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)}$

${\displaystyle \log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),}$

где ${\displaystyle z=y-x}$ разница между логарифмами операндов, функция «суммы» ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$, а функция «разницы» ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)}$. Эти функции ${\displaystyle s_{b}(z)}$ и ${\displaystyle d_{b}(z)}$, изображенные на рисунке справа, также известны как логарифмы Гаусса. Упрощение умножения, деления, взятия корня и возведения в степень компенсируется сложностью оценки этих функций для сложения и вычитания. Эта добавленная стоимость оценки может быть незначительна при использовании LNS в первую очередь для повышения точности операций с плавающей запятой.

История

Логарифмическая система счисления была независимо изобретена и опубликована по крайней мере три раза, в качестве альтернативы системам счисления с фиксированной и с плавающей запятой^[1].

Кингсбери и Рейнер представили «логарифмическую арифметику» для цифровой обработки сигналов в 1971 году.^[2]

Аналогичная LNS была описана в 1975 году Шварцлендером и Алехопоулосом.^[3]

Ли и Эдгар описал подобную систему счисления, которую они назвали «Фокус», в 1977 году^[4]

Математические основы для сложения и вычитания в LNS восходят к Карлу Фридриху Гауссу и Z. Leonelli^[5][6].

Применение

LNS была использована в Gravity Pipe^[англ.] (GRAPE) — специальном суперкомпьютере^[7], который выиграл Премию Гордона Белла в 1999 году.

LNS обычно используется как часть скрытых марковских моделей, таких как Алгоритм Витерби, для распознавания речи и секвенирования ДНК.

Значительные усилия в исследовании применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы системам с плавающей запятой общего назначения для обработки одинарной точности вещественных чисел описаны в контексте «Европейского логарифмического микропроцессора» (ELM).^[8] Представлен прототип 32-разрядного процессора, функционирующего в LNS. Дальнейшее совершенствование LNS, основанной на архитектуре ELM вновь показало значительно лучшую скорость вычислений и большую точность, нежели вычисления с плавающей запятой.^[9]

LNS иногда используется в FPGA — приложениях, где большинство арифметических операций это умножение и деление.^[10]