Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группа — топологическое пространство, в котором заданы непрерывные операции умножения и взятия обратного элемента, удовлетворяющие аксиомам группы, но, в отличие от топологической группы, определённые лишь в некоторой окрестности единицы. Примером локально топологической группы является любая топологическая группа.

Определение

Локальной топологической группой называется система ${\displaystyle (G,e,W,V,m,i)}$, где ${\displaystyle G}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle e}$ — некоторый его элемент, ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle V}$ — открытые подмножества в ${\displaystyle G\times G}$ и ${\displaystyle G}$ соответственно, ${\displaystyle e\in V}$, ${\displaystyle m\colon W\to G}$ — непрерывная операция умножения (обычно обозначают ${\displaystyle m(a,b)=ab}$), ${\displaystyle i\colon V\to G}$ — непрерывная операция нахождения обратного элемента (обычно обозначают ${\displaystyle i(a)=a^{-1}}$), если выполнены следующие условия:

1. Для любых элементов ${\displaystyle a,b,c\in G}$, для которых определены произведения ${\displaystyle ab,bc,(ab)c,a(bc)}$, выполнено ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$.
2. Для любого элемента ${\displaystyle a\in G}$ произведения ${\displaystyle ae,ea}$ определены и равны ${\displaystyle a}$.
3. Для любого элемента ${\displaystyle a\in G}$ произведения ${\displaystyle aa^{-1},a^{-1}a}$ определены и равны ${\displaystyle e}$.

Примеры

Каждая топологическая группа (а также любая её окрестность единицы) является локальной топологической группой.

Литература

• Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М.,

Ссылки

• Локальная топологическая группа — статья из Математической энциклопедии. В. Л. Попов