Локально связное пространство

Локально связное пространство ― топологическое пространство ${\displaystyle X}$, в котором для любой точки ${\displaystyle x}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ имеется меньшая связная окрестность ${\displaystyle U_{x}}$. Эквивалентно, топологическое пространство с локальными базами из связных множеств.

Свойства

• Всякое открытое подмножество локально связного пространства локально связно.
• Всякая компонента связности локально связного пространства открыта и замкнута.
• Всякое локально линейно связное пространство локально связно, обратное не всегда выполнено.
  • Частичное обращение этого утверждения: всякое полное метрическое локально связное пространство является локально линейно связным (теорема Мазуркевича ― Мура ― Менгера).

Вариации и обобщения

• Локально односвязное пространство ― топологическое пространство ${\displaystyle X}$, в котором для любой точки ${\displaystyle x}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ имеется меньшая односвязная окрестность ${\displaystyle U_{x}}$. Эквивалентно, топологическое пространство с локальными базами из односвязных множеств.

• Полулокально односвязное пространство