Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство (также полное по Коши́) — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства)^[1].

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство ${\displaystyle X=(X,\rho )}$ можно вложить в полное пространство ${\displaystyle Y}$ таким образом, что метрика ${\displaystyle Y}$ продолжает метрику ${\displaystyle X}$, а подпространство ${\displaystyle X}$ всюду плотно в ${\displaystyle Y}$. Такое пространство ${\displaystyle Y}$ называется пополнением ${\displaystyle X}$ и обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {X}}}$.

Построение

Для метрического пространства ${\displaystyle X=(X,\rho )}$, на множестве фундаментальных последовательностей в ${\displaystyle X}$ можно ввести отношение эквивалентности

${\displaystyle (x_{n})\sim (y_{n})\Leftrightarrow \lim \rho (x_{n},y_{n})=0.}$

Множество классов эквивалентности ${\displaystyle {\bar {X}}}$ с метрикой, определённой

${\displaystyle {\bar {\rho }}((x_{n}),(y_{n}))=\lim \rho (x_{n},y_{n}),}$

является метрическим пространством. Само пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке ${\displaystyle x\in X}$ соответствует класс постоянной последовательности ${\displaystyle x_{n}=x}$. Получившееся пространство ${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\rho }})}$ и будет пополнением ${\displaystyle X}$.

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического ${\displaystyle M}$ пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ пространство ${\displaystyle X}$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
• Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
  • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

• Множество вещественных (действительных) чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ полно в стандартной метрике ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ — естественная метрика на числовой оси.
• Множество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с заданной на нём метрикой ${\displaystyle d_{2}(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x-y\right)}^{2}}}}$ — евклидова метрика (или ${\displaystyle {l}_{2}}$-метрика);
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно^[1].
• Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
• Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

• Рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ со стандартным расстоянием ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике ${\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}$. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если ${\displaystyle X}$ имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.