Мажорирование стресса

Мажорирование стресса — это стратегия оптимизации, используемая в многомерном шкалировании, где для набора из n элементов размерности m ищется конфигурация X n точек в r(<<m)-мерном пространстве, которая минимизирует так называемую функцию мажорирования ${\displaystyle \sigma (X)}$. Обычно r равно 2 или 3, то есть (n x r) матрица X перечисляет точки в 2- или 3-мерном евклидовом пространстве, так что результат может быть отражён визуально. Функция ${\displaystyle \sigma }$ является ценой или функцией потерь, которая измеряет квадрат разницы между идеальным (${\displaystyle m}$-мерным) расстоянием и актуальным расстоянием в r-мерном пространстве. Она определяется как:

${\displaystyle \sigma (X)=\sum _{i<j\leqslant n}w_{ij}(d_{ij}(X)-\delta _{ij})^{2}}$,

где ${\displaystyle w_{ij}\geqslant 0}$ является весом для мер между парами точек ${\displaystyle (i,j)}$, ${\displaystyle d_{ij}(X)}$ является евклидовым расстоянием между ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, а ${\displaystyle \delta _{ij}}$ является идеальным расстоянием между точками в ${\displaystyle m}$-мерном пространстве. Заметим, что ${\displaystyle w_{ij}}$ может быть использовано для спецификации степени доверия в похожести точек (например, можно указать 0, если нет никакой информации для конкретной пары).

Конфигурация ${\displaystyle X}$, которая минимизирует ${\displaystyle \sigma (X)}$, даёт график, в котором близкие точки соответствуют близким точкам в исходном ${\displaystyle m}$-мерном пространстве.

Существует много путей минимизации ${\displaystyle \sigma (X)}$. Например, Крускал^[1] рекомендует итеративный подход кратчайшего спуска. Однако существенно лучший (в терминах гарантированности и скорости сходимости) метод минимизации стресса был предложен Яном де Лейвом^[2][3]. Метод итеративной мажоризации де Лейва на каждом шаге минимизирует простую выпуклую функцию, которая ограничивает ${\displaystyle \sigma }$ сверху и касается поверхности ${\displaystyle \sigma }$ в точке ${\displaystyle Z}$, которая называется опорной точкой. В выпуклом анализе такая функция называется мажорирующей функцией. Этот итеративный процесс мажоризации также упоминается как алгоритм SMACOF (англ. Scaling by MAjorizing a COmplicated Function).

Алгоритм SMACOF

Функцию стресса ${\displaystyle \sigma }$ можно разложить следующим образом:

${\displaystyle \sigma (X)=\sum _{i<j\leqslant n}w_{ij}(d_{ij}(X)-\delta _{ij})^{2}=\sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}^{2}+\sum _{i<j}w_{ij}d_{ij}^{2}(X)-2\sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}d_{ij}(X)}$

Заметим, что первый член является константой ${\displaystyle C}$, а второй зависит квадратично от X (то есть для матрицы Гессе V второй член эквивалентен tr${\displaystyle X'VX}$), а потому относительно прост в вычислениях. Третий же член ограничен величиной

${\displaystyle \sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}d_{ij}(X)=\,\operatorname {tr} \,X'B(X)X\geqslant \,\operatorname {tr} \,X'B(Z)Z}$,

где ${\displaystyle B(Z)}$ имеет элементы

${\displaystyle b_{ij}=-{\frac {w_{ij}\delta _{ij}}{d_{ij}(Z)}}}$ для ${\displaystyle d_{ij}(Z)\neq 0,i\neq j}$

${\displaystyle b_{ij}=0}$ для ${\displaystyle d_{ij}(Z)=0,i\neq j}$

${\displaystyle b_{ii}=-\sum _{j=1,j\neq i}^{n}b_{ij}}$.

Данное неравенство доказывается через неравенство Коши — Буняковского, см. статью Борга^[4].

Таким образом, мы имеем простую квадратичную функцию ${\displaystyle \tau (X,Z)}$, которая мажорирует стресс:

${\displaystyle \sigma (X)=C+\,\operatorname {tr} \,X'VX-2\,\operatorname {tr} \,X'B(X)X}$

${\displaystyle \leqslant C+\,\operatorname {tr} \,X'VX-2\,\operatorname {tr} \,X'B(Z)Z=\tau (X,Z)}$

Тогда итеративная процедура мажоризации делает следующее:

• на шаге k мы принимаем ${\displaystyle Z\leftarrow X^{k-1}}$
• ${\displaystyle X^{k}\leftarrow \min _{X}\tau (X,Z)}$
• останавливаемся, если ${\displaystyle \sigma (X^{k-1})-\sigma (X^{k})<\epsilon }$, в противном случае возвращаемся в начало.

Было показано, что этот алгоритм уменьшает стресс монотонно (см. статью де Лейва^[3]).

Использование в визуализации графов

Мажорирование стресса и алгоритмы, подобные SMACOF, имеют также приложение в области визуализации графов^[5][6]. То есть можно найти более или менее эстетичное расположение вершин для сети или графа путём минимизации функции стресса. В этом случае ${\displaystyle \delta _{ij}}$ обычно берётся как расстояние в смысле теории графов между узлами (вершинами) i и j, а веса ${\displaystyle w_{ij}}$ берутся равными ${\displaystyle \delta _{ij}^{-\alpha }}$. Здесь ${\displaystyle \alpha }$ выбирается как компромисс между сохранением длинных и коротких идеальных расстояний. Хорошие результаты были показаны для ${\displaystyle \alpha =2}$^[7].