Матрица Тёплица

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$,

то есть выполняется соотношение:

${\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}}$.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}}$

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за ${\displaystyle O(n)}$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за ${\displaystyle O(n^{2})}$ операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида ${\displaystyle Ax=b}$, где ${\displaystyle A}$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время ${\displaystyle O(n^{2})}$^[1][2].

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица