Мельница (теория графов)

В теории графов «мельница» Wd(k,n) — это неориентированный граф, построенный для k ≥ 2 и n ≥ 2 путём объединения n копий полных графов K_k в одной общей вершине. То есть это сумма по 1-клике этих полных графов^[1].

Граф «Мельница»
Вершин	(k-1)n+1
Рёбер	nk(k−1)/2
Радиус	1
Диаметр	2
Обхват	3 при k > 2
Хроматическое число	k
Хроматический индекс	n(k-1)
Обозначение	Wd(k,n)
Медиафайлы на Викискладе

Свойства

Граф имеет (k-1)n+1 вершин и nk(k−1)/2 рёбер ^[2], обхват 3 (при k > 2), радиус 1 и диаметр 2. Граф имеет вершинную связность 1, поскольку его центральная вершина является точкой сочленения. Однако, подобно полным графам, из которых он образован, он является рёберно (k-1)-связным. Граф является тривиально совершенным графом и блоковым графом.

Специальные случаи

По построению мельница Wd(3,n) является графом дружеских отношений F_n, мельница Wd(2,n) является звездой S_n, а мельница Wd(3,2) является «бабочкой».

Разметка и раскраска

Граф «мельница» имеет хроматическое число k и хроматический индекс n(k-1). Его хроматический многочлен может быть получен из хроматического полинома полного графа и равен ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-i)^{n}.}$

Доказано, что граф «мельница» Wd(k,n) не является грациозным, если k > 5^[3]. В 1979 Бермонд высказал гипотезу, что Wd(4,n) является грациозным для всех n ≥ 4^[4]. Известно, что это верно для n ≤ 22^[5]. Бермонд, Котциг и Тургеон доказали, что Wd(k,n) не является грациозными при k = 4 и n = 2 или n = 3, и при k = 5 и n = 2^[6]. Мельница Wd(3,n) грациозна тогда и только тогда, когда n ≡ 0 (mod 4) или n ≡ 1 (mod 4)^[7].

Галерея

Малые графы-мельницы.