Метрический дифференциал

Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом^[1].

Метрический дифференциал отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X}$ в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ является нормой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и обычно обозначается ${\displaystyle MD_{x}f}$.

Определение

Метрический дифференциал отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X}$ в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ определяется как норма ${\displaystyle MD_{x}f}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такая, что

${\displaystyle |f(x+v)-f(x+w))|_{X}=MD_{x}f(v-w)+o(|v|-|w|),}$

где ${\displaystyle |a-b|_{X}}$ обозначает расстояние между точками ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ по норме ${\displaystyle X}$.

Свойства

• Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X}$ липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
  • Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства ${\displaystyle X=L^{1}([0,1])}$ заключение самой теоремы неверно — например, отображение ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$, определённое как индикатор ${\displaystyle f(x)=\chi _{[0,x]}}$, не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.