Минимальная логика

Минимальная логика — это специальная логическая система, в которой при операциях с высказываниями не применяется ни закон исключённого третьего, ни то следствие, вытекающее из закона противоречия, по которому из противоречия следует всё что угодно.

С точки зрения всеобщей применимости минимальная логика является результатом пересмотра принципов классической логики.

Логические символы

Знак → означает союз «Если…, то…», знак & означает союз «и», знак ∨ — означает союз «или» в соединительно-разделительном смысле, ¬B — означает отрицание В.

Схемы аксиом

Минимальное исчисление высказываний, согласно Ю. А. Гастеву, определяется следующими схемами аксиом:

1) A → (B → A),

2) (A → В) → ((А → (В → С) → (А → С)),

3) А → (В → А & В),

4) (A & B) → A,

5) (А & В) → В,

6) А → (А ∨ В),

7) В → (А ∨ В),

8) (А → С) → ((В → С) → (А ∨ В → С)),

В минимальном исчислении высказываний можно доказать от противного отрицательные предложения, опираясь на «закон приведения к абсурду»:

9) (А → В) → ((А → ¬В) → ¬А).

Также как и в классической логике минимальное исчисление высказываний всегда может быть расширено до минимального исчисления предикатов. Такие системы описаны в качестве логической базы метатеории во многих работах по ультраинтуиционистскому обоснованию математики, а также в работах по искусственному интеллекту.

Правила вывода

1. Modus ponens: ${\displaystyle {\frac {A,\;(A\to B)}{B}}}$.

См. также

• Интуиционистское исчисление высказываний
• Интуиционизм
• Конструктивная логика