Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

Конструкция

Предположим

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}}$

есть многочлен от n переменных. Обозначим через ${\displaystyle I}$ множество всех мультииндексов ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{n}}$ таких, что ${\displaystyle a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0}$. По определению многочлена ${\displaystyle I}$ конечно.

Выпуклая оболочка

${\displaystyle N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}}$

называется многогранником Ньютона многочлена ${\displaystyle f}$.

Свойства

• Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений ${\displaystyle f_{1}=\dots =f_{n}=0}$ равно

  ${\displaystyle n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),}$

где ${\displaystyle N_{i}}$ многогранник Ньютона многочлена ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle V(N_{1},\dots ,N_{n})}$ — их смешанный объём.^[1][2]

Вариации и обобщения

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.^[3]