Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из ${\displaystyle n}$ выпуклых тел в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}}$ обычно обозначается

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}$.

Определение

Пусть ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}}$ набор из ${\displaystyle n}$ выпуклых тел в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$ положительные вещественные числа. Обозначим через ${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ объём тела

${\displaystyle \lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},}$

где «${\displaystyle +}$» обозначает сумму Минковского и

${\displaystyle \lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.}$

Функция ${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ является однородным многочленом степени ${\displaystyle n}$. Коэффициент этого многочлена при ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}}$ по определению равен ${\displaystyle n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}$.

Заметим, что

${\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.}$

Свойства

• Для произвольных неотрицательных чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$,

  ${\displaystyle V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}$

• Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
• Смешанный объём монотонен по включению тел.
• Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
• Смешанный объём неотрицателен.
  • Более того, ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0}$ тогда и только тогда, когда в каждом ${\displaystyle K_{i}}$ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
• Для неотрицательного целого ${\displaystyle k\leq n}$ смешанный объём ${\displaystyle n-k}$ копий выпуклого тела ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle k}$ копий единичного шара выражается через ${\displaystyle k}$-тую среднюю поперечную меру ${\displaystyle K}$. В частности
  • Смешанный объём набора из ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle K}$ равен обычному объёму ${\displaystyle K}$.
  • Смешанный объём набора из ${\displaystyle n-1}$ копий ${\displaystyle K}$ и единичного шара равен ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ площади поверхности ${\displaystyle K}$.
• Типичное число решений системы полиномиальных уравнений ${\displaystyle f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0}$ равно смешанному объёму многогранников Ньютона ${\displaystyle f_{i}}$.
• неравенство Минковского

  ${\displaystyle V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)}$

• неравенство Александрова — Фенхеля

  ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

См. также

• Теорема Хадвигера

Литература

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.