Многогранная метрика

Многогранная метрика — внутренняя метрика связного симплициального комплекса из евклидовых симплексов, в котором склеиваемые грани изометричны и склеивание производится по изометрии.

Расстоянием между точками комплекса служит нижняя грань длин ломаных, соединяющих эти точки, и таких, что каждое из звеньев умещается в одном из симплексов. Примером многогранной метрики служит внутренняя метрика на поверхности выпуклого многогранника. Многогранные метрики могут рассматриваться также на комплексе из симплексов пространства постоянной кривизны.

В теории выпуклых поверхностей приближение посредством многогранных метрик служит универсальным аппаратом исследования.

Свойства

• Компактное метрическое пространство имеет многогранную метрику тогда и только тогда, когда у каждой точки ${\displaystyle p}$ существует сферическая окрестность изометричная евклидову конусу над некоторым метрическим пространством и при этом вершина конуса соответствует точке ${\displaystyle p}$.^[1]