Многочлены Гегенбауэра

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$. Они могут быть явным образом представлены как

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}$

Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула	${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,1]}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle (1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )f=0}$
Норма	${\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}}$
Названы в честь	Леопольда Гегенбауэра

где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция, а ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы ${\displaystyle SO(n)}$^[1]. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию^[2]:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}$

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене ${\displaystyle z\to -z}$, ${\displaystyle t\to -t}$, то

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),}$

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha }}$ и ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha }}$ соответственно:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)!}}}$   (для чётных n),       ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)=0}$   (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

${\displaystyle (\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )}}}$.

Рекуррентное соотношение и частные случаи

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n}}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].}$

В частности^[3],

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z)&=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}}$

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра^[4]

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.}$

При ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right).}$

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби ${\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}$ c ${\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).}$

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z).}$

Они могут быть выражены через формулу Родрига

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Ортогональность и нормировка

Для данного ${\displaystyle \alpha }$ многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$, то есть (для n ≠ m)^[5],

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.}$

Они нормализованы как^[5]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Случай комплексного аргумента

Если ${\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные переменные (и ${\displaystyle \alpha }$ тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:

${\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}$

${\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}$

См. также

• Ортогональные многочлены
• Многочлены Чебышёва
• Многочлены Лежандра
• Многочлены Якоби