Многочлены Лежандра

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ${\displaystyle \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула	${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,\;1]}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0}$
Норма	${\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}}$
Названы в честь	Лежандр, Адриен Мари

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,}$

(1)

где ${\displaystyle z}$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ${\displaystyle n}$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ${\displaystyle n}$ можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.}$

Часто вместо ${\displaystyle z}$ записывают косинус полярного угла:

${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.}$

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,}$

(2)

где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ${\displaystyle |z|<1}$ (в частности, при действительных ${\displaystyle z}$) или когда действительная часть числа ${\displaystyle z}$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида ${\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}}$ в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области ${\displaystyle |1-z|<2}$ принимает вид

${\displaystyle w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu$ ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),}

где ${\displaystyle F}$ — гипергеометрическая функция. Подстановка ${\displaystyle w=z^{2}}$ в (2) приводит к решению вида

${\displaystyle w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),}$

определённым на ${\displaystyle |z|>1}$. Функции ${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)}$

и

${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).}$

Выражение через суммы

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.}$

Рекуррентная формула

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при ${\displaystyle n\geqslant 1}$)^[4]:

${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),}$

(3)

причём первые две функции имеют вид

${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x.}$

Производная полинома Лежандра

Вычисляется по формуле^[5]

${\displaystyle P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].}$

(4)

Корни полинома Лежандра

Вычисляются итеративно по методу Ньютона^[5]:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},}$

причём начальное приближение для ${\displaystyle i}$-го корня (${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) берётся по формуле^[5]

${\displaystyle x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.}$

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}}$   для   ${\displaystyle |t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,}$

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}}$   для   ${\displaystyle |t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.}$

Следовательно,

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].}$

Присоединённые многочлены Лежандра

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}$

которую также можно представить в виде

${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}$

При ${\displaystyle m=0}$ функция ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ совпадает с ${\displaystyle P_{n}}$.

Нормировка по правилу Шмидта

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом^[6]:

${\displaystyle SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),}$

${\displaystyle SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).}$

Сдвинутые многочлены Лежандра

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$, где сдвигающая функция ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов ${\displaystyle [-1,\;1]}$ на интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$:

${\displaystyle \int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.}$

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.}$

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].}$

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Матрица функции многочлена Лежандра

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k(k+1)&\dots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &0&\dots &n(n+1)\\\end{pmatrix}}}$

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны ${\displaystyle k(k+1)}$, где ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\}}$.

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x,}$

${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),}$

${\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),}$

${\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),}$

${\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),}$

${\displaystyle P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),}$

${\displaystyle P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),}$

${\displaystyle P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35),}$

${\displaystyle P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x^{3}+315x),}$

${\displaystyle P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30\,030x^{4}+3465x^{2}-63),}$

${\displaystyle P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90\,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),}$

${\displaystyle P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),}$

${\displaystyle P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849\,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),}$

${\displaystyle P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309\,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}-429),}$

${\displaystyle P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702\,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{3}-6435x),}$

${\displaystyle P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}[phone]x^{12}-1487285800x^{10}[phone]x^{8}-162954792x^{6}[phone]x^{4}-875160x^{2}+6435),}$

${\displaystyle P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4\,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\,888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).}$

Поскольку ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$, то

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n}x^{n}}{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Свойства

• Если ${\displaystyle n\neq 0}$, то ${\displaystyle \forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.}$
• Для ${\displaystyle n\neq 0}$ степень ${\displaystyle P_{n}}$ равна ${\displaystyle n}$.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра ${\displaystyle P_{n}(x)}$ равна 1.
• Уравнение ${\displaystyle P_{n}(x)=0}$ имеет ровно ${\displaystyle n}$ различных корней на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1].}$
• Пусть ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n}}$. Тогда

  ${\displaystyle U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,}$

  ${\displaystyle (x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.}$

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

При ${\displaystyle m=0}$ уравнение принимает вид

${\displaystyle P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).}$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.}$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$:

  ${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{kl},}$

где ${\displaystyle \delta _{kl}}$ — символ Кронекера.

• Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ норма ${\displaystyle P_{n}}$ равна

  ${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}$

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой ${\displaystyle P_{n}}$ следующим соотношением:

  ${\displaystyle {\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}P_{n}(x).}$

• При каждом ${\displaystyle m>0}$ система присоединённых функций Лежандра ${\displaystyle P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots }$ полна в ${\displaystyle L_{2}(-1,\;1)}$.
• В зависимости от ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

  ${\displaystyle P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{m+n}P_{n}^{m}(x).}$

  ${\displaystyle P_{2n}}$ — чётная функция,

  ${\displaystyle P_{2n+1}}$ — нечётная функция.

• ${\displaystyle P_{n}(1)=1.}$
• ${\displaystyle P_{n}(-1)=(-1)^{n}.}$
• ${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}}$, поскольку ${\displaystyle \forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0}$, а ${\displaystyle 0^{2n-2n}=1}$.
• Для ${\displaystyle n\neq 0}$ выполняется ${\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}}$.
• ${\displaystyle \forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt {\frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.}$

Ряды многочленов Лежандра

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция ${\displaystyle f}$ является функцией со свойством

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|}$, где ${\displaystyle L>0}$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon (I)}$ — пространство непрерывных отображений на отрезке ${\displaystyle I=[-1,\;1]}$, ${\displaystyle f\in \varepsilon (I)}$, и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Пусть

${\displaystyle c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,}$

тогда ${\displaystyle c_{n}(f)}$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.}$

Пусть ${\displaystyle S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}}$ и ${\displaystyle S_{n}f}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. ${\displaystyle \forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy}$, где ${\displaystyle K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};}$
2. ${\displaystyle S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;}$
3. ${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).}$

Липшицеву функцию ${\displaystyle f}$ можно записать следующим образом:

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.}$

Разложение голоморфной функции

Всякая функция ${\displaystyle f}$, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).}$

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi }$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[7]

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,}$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .}$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[8]

${\displaystyle Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi }$

при условиях ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi /2}$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$.

Функции Лежандра

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ${\displaystyle P_{n,\;m}(x)}$) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ${\displaystyle r,\;\theta ,\;\varphi }$) вида (с точностью до константы)

${\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi }$ и ${\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,}$

где ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде ${\displaystyle r^{n}Y_{nm}}$, где ${\displaystyle Y_{nm}}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.