Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы➤ широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$

для каждой матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

принадлежащей модулярной группе ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$.

Модулярная форма

Модулярной формой веса ${\displaystyle k}$ для группы ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ называется голоморфная функция ${\displaystyle f\colon H\to C}$, удовлетворяющая условию

${\displaystyle f(g\tau )=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$ для любых ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ и ${\displaystyle \tau \in H}$

и голоморфная во всех параболических точках^[1][2].

Пусть ${\displaystyle H}$ — верхняя комплексная полуплоскость: ${\displaystyle H=\{z\in C\mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$. Группа матриц ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ для натурального числа ${\displaystyle N}$ определяется как

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}\ {\Bigg |}\ c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$.

Группа ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ действует на ${\displaystyle H}$ с помощью дробно-линейных преобразований ${\displaystyle g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},}$ где ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ и ${\displaystyle \tau \in H}$.^[3]

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса ${\displaystyle 2k}$ является (при ${\displaystyle k>1}$) ряд Эйзенштейна:

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}},}$

где ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.

Пусть

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}}$

— модулярные инварианты, ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ — модулярный дискриминант. Определим следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант^[англ.]):

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}.}$

Тогда выполняются равенства

${\displaystyle g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\quad g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau ),}$

${\displaystyle \Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\quad \Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau ).}$

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть ${\displaystyle g_{2}}$ — модулярная форма веса 4, ${\displaystyle \Delta }$ — модулярная форма веса 12. Соответственно ${\displaystyle g_{2}^{3}}$ — модулярная форма веса 12, а ${\displaystyle j(z)}$ — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.