Модулярность (алгебра)

Основная статья: Модулярная решётка

Модулярность (англ. modularity^[1]) — свойство согласованности двух бинарных операций для любых трёх элементов решётки, два из которых сравнимы^[2][3].

Модулярный закон для решётки

Синоним: модулярный закон (англ. modular law^[4])^[2][3].

Формальное определение следующее^[3].

Модулярность на решётке ${\displaystyle L}$ — выполнение для трёх произвольных элементов решётки ${\displaystyle x,\,y,\,z\in L}$ следующей самодвойственной импликации^[2][3][5]:

${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow x+(y\cdot z)=y\cdot (x+z)=(x+z)\cdot y}$.

На рисунке справа представлен модулярный закон для решёток в виде схемы, подобной диаграмме Эйлера➤. Эта схема показывает, что элементы из ${\displaystyle z}$, не входящие в ${\displaystyle y}$, никак не влияют на значение операции ${\displaystyle x+(y\cdot z)}$^[3].

Модулярность есть ослабленная дистрибутивность^[6][7] и представляет собой наиболее плодотворное понятие после дистрибутивности^[8].

Смысл модулярного закона для решёток состоит в истинности противоположного неравенства, поскольку в произвольной решётке всегда выполняется следующая импликация^[3]:

${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow x+(y\cdot z)\leqslant y\cdot (x+z)}$.

Модулярный закон равносилен следующим двум тождествам:

${\displaystyle x+(y\cdot z)=x+((y+(x\cdot z))\cdot z)}$^[8];

${\displaystyle x+((x+y)\cdot z)=(x+y)\cdot (x+z)}$^[2][9][10].

Эти тождества применяются без каких-либо предположений, в этом их смысл и удобство. Следует иметь в виду двойственные выражения^[8]:

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot ((y\cdot (x+z))+z)}$;

${\displaystyle x\cdot ((x\cdot y)+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}$.