Направленное множество

Направленное множество — непустое множество ${\displaystyle A}$ с заданным на нём направлением — рефлексивным транзитивным отношением ${\displaystyle \leqslant }$ (то есть предпорядком) с верхней гранью для каждой пары элементов.

Направленные множества являются обобщением линейно упорядоченных множеств, то есть любое линейно упорядоченное множество является направленным (для частично упорядоченного множества это, вообще говоря, неверно). В топологии направленные множества используются для определения направленностей, являющихся обобщением последовательности и объединяющих понятие предела, используемого в математическом анализе.

Примеры

Множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ со стандартным отношением порядка — направленное множество. На множестве ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ пар натуральных чисел направление может быть определено следующим образом: ${\displaystyle (n_{0},n_{1})\leqslant (m_{0},m_{1})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n_{0}\leqslant m_{0}}$ и ${\displaystyle n_{0}\leqslant m_{0}}$.

На множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ можно ввести направление следующим образом: ${\displaystyle a\leqslant b}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |a-x_{0}|\geqslant |b-x_{0}|}$ — это пример направленного множества, не являющегося частично упорядоченным. Тривиальным примером частично упорядоченного множества, не являющегося направленным, является множество ${\displaystyle \{a,b\}}$, в котором определены лишь отношения ${\displaystyle a\leqslant a}$ и ${\displaystyle b\leqslant b}$.

Если ${\displaystyle T}$ — топологическое пространство, а ${\displaystyle x_{0}}$ — точка из ${\displaystyle T}$, то возможно задать направление на множестве окрестностей ${\displaystyle x_{0}}$ следующим образом: ${\displaystyle U\leqslant V}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ содержит ${\displaystyle V}$.

В частично упорядоченном множестве ${\displaystyle P}$ множество нижних границ некоторого элемента ${\displaystyle x_{0}\in P}$, то есть множество вида ${\displaystyle \{a\mid a\in P,a\leqslant x_{0}\}}$, является направленным множеством.

Направленные подмножества

Отношение направления может не быть антисимметричным, и, следовательно, направленные множества не всегда являются частично упорядоченными. Однако термин направленное множество также часто употребляется в контексте частично упорядоченных множеств. Таким образом, подмножество ${\displaystyle A}$ частично упорядоченного множества ${\displaystyle (P,\leqslant )}$, называется направленным подмножеством, если ${\displaystyle A}$ непусто, и для всех ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ из ${\displaystyle A}$ существует ${\displaystyle c}$ из ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle a\leqslant c}$ и ${\displaystyle b\leqslant c}$. Здесь отношение порядка на элементах из ${\displaystyle A}$ наследуется от ${\displaystyle P}$; поэтому рефлексивность и транзитивность не требуются в явном виде.

Литература

• Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ (рус.). — 3-е изд., перераб.. — М.: «Наука», 1984. — 752 с. — 14 000 экз.
• Энгелькинг Р^[англ.]. Общая топология = Ryszard Engelking. General topology (1985) (рус.) / Пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. — М.: «Мир», 1986. — 751 с., ил.