Нега-позиционная система счисления

Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от ${\displaystyle 0}$, с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.

Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Фибоначчиева
Единичная (унарная)

Примеры

Нега-позиционная запись	Позиционная запись	Представление числа
174(-10)	34(10)	1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34
46(-10)	−34(10)	4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34
11001(-2)	1001(2)	1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9

История

Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом^[англ.] в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр. 203—221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.

Использование

Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием ${\displaystyle b=-r}$ представляется в виде линейной комбинации степеней числа ${\displaystyle -r}$:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(-r)^{k}}$,

где ${\displaystyle a_{k}}$ — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leq a_{k}<r}$, ${\displaystyle k}$ — порядковый номер разряда начиная с нулевого, n — число разрядов. Каждая степень ${\displaystyle (-r)^{k}}$ в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя ${\displaystyle k}$. Обычно для ненулевого числа ${\displaystyle x}$ требуют, чтобы старшая цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$ в b-ричном представлении ${\displaystyle x}$ была также ненулевой.

Нега-позиционные системы сравнимы с знако-разрядными системами счисления, такими как симметричная троичная система, где основание системы положительно, однако цифры могут принимать отрицательные значения из некого промежутка.

Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle -b}$ (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:

${\displaystyle 17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}}$

То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — ${\displaystyle 10001}$.

Представления чисел от −12 до 12 в различных системах счисления:

Десятичное	Нега-десятичное	Двоичное	Нега-двоичное	Троичное	Нега-троичное
-12	28	-1100	110100	-110	1210
-11	29	-1011	110101	-102	1211
-10	10	-1010	1010	-101	1212
-9	11	-1001	1011	-100	1200
-8	12	-1000	1000	-22	1201
-7	13	-111	1001	-21	1202
-6	14	-110	1110	-20	20
-5	15	-101	1111	-12	21
-4	16	-100	1100	-11	22
-3	17	-11	1101	-10	10
-2	18	-10	10	-2	11
-1	19	-1	11	-1	12
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	2	10	110	2	2
3	3	11	111	10	120
4	4	100	100	11	121
5	5	101	101	12	122
6	6	110	11010	20	110
7	7	111	11011	21	111
8	8	1000	11000	22	112
9	9	1001	11001	100	100
10	190	1010	11110	101	101
11	191	1011	11111	102	102
12	192	1100	11100	110	220

Перевод в нега-позиционные системы

Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на ${\displaystyle b=-r}$ (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если ${\displaystyle a/b=c}$, с остатком ${\displaystyle d}$, то ${\displaystyle bc+d=a}$. Пример перевода в нега-троичную систему:

${\displaystyle {\begin{aligned}146&~/~-3=&-48,&~~~d=2\\-48&~/~-3=&16,&~~~d=0\\16&~/~-3=&-5,&~~~d=1\\-5&~/~-3=&2,&~~~d=1\\2&~/~-3=&0,&~~~d=2\\\end{aligned}}}$

Следовательно, нега-троичным представлением числа 146₍₁₀₎ является 21102_(-3).

Реализация на C#:

// Нега-троичная
static string negaternary(int value)
{
	string result = string.Empty;
	do
	{
		int remainder = value % -3;
		value = value / -3;
		if (remainder < 0)
		{
			remainder += 3;
			value += 1;
		}
		result = remainder.ToString() + result;
	} while (value != 0);
	return result;
}

Реализация на C++:

// Нега-двоичная
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int value,rem;
	string res="";
	cin>>value;
	do
	{
		rem=value%-2;
		value=value/-2;
		if(rem<0)
		{
			rem=rem+2;
			value++;
		}
		if(rem==1) res="1"+res;
		if(rem==0) res="0"+res;
	}
    while(value!=0);
	cout<<res;
}

Реализация на Python 3.8:

# Нега-двоичная
res = ""
value = int(input())

while True:
    rem = value % -2
    value = value // -2
    if rem < 0:
        rem = rem + 2
        value = value + 1

    if rem == 1:
        res = "1" + res
    if rem == 0:
        res = "0" + res

    if value == 0:
        break

print(res)

Дроби

Арифметические операции

Сложение

Сложение столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите сложить в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при сложении в каком-либо разряде получается число не менее 10, то надо в этот разряд записать число единиц из полученного числа а из соседнего слева разряда вычесть единицу. Если слева нет разряда, то приписать слева 19 (для нега-десятичной, для нега-троичной 12, для нега-двоичной 11). Например (нега-десятичная система):

 ·  ·
 18115
+
  5487
  3582

5+7=12, 2 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 8+5=13, 3 в разряд минус тысяч, из соседнего слева вычитаем единицу.

  ·
  72
+
  49
1901

2+9=11, 1 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 6+4=10, 0 в разряд минус десятков, соседнего слева — нет, приписываем слева 19.

Вычитание

Вычитание столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите вычесть в нега-десятичной системе счисления (НДСС), то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при вычитании в каком-либо разряде надо занять десяток, то вы это и делаете, но из соседнего слева разряда вы не вычитаете единицу, а наоборот прибавляете её туда. Если слева нет разряда, то приписать слева 1. Например (нега-десятичная система):

 52
−
 39
 ??

2−9 нельзя, занимаем единицу.

 2     12
−     −
 9      9
??      3

12−9=3, 3 в разряд единиц, в соседний слева разряд прибавляем единицу (52−12= 52−2+10 =50+10=60). 6−3=3.

 52    52    60    60    00
−     −     −     −     −
 39    30    30    30    00
 ??    ?3    ?3    ?3    33

52 в НДСС = −48₁₀. 39 в НДСС = −21₁₀. 33 в НДСС = −27₁₀.

−48₁₀ − (−21₁₀) = −27₁₀.

Умножение

Таблицы умножения

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица умножения в нега-двоичной системе счисления

2	0	2	121
1	0	1	2
0	0	0	0
х	0	1	2

Таблица умножения в нега-троичной системе счисления

Таблица умножения в нега-десятичной системе счисления

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	190	192	194	196	198
3	6	9	192	195	198	181	184	187
4	8	192	196	180	184	188	172	176
5	190	195	180	185	170	175	160	165
6	192	198	184	170	176	162	168	154
7	194	181	188	175	162	169	156	143
8	196	184	172	160	168	156	144	132
9	198	187	176	165	154	143	132	121

См. также

• Нега-двоичная система счисления
• Знако-разрядная система счисления
• Симметричная система счисления