Неравенство Карлемана

Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство^[1]. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях^[2][3].

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3}\dots \}}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно ${\displaystyle a_{n}}$ не равно нулю^[4].

Интегральная версия

У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t)dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx}$

Неравенство Карлесона

В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана^[5]:

Пусть ${\displaystyle g(x)}$ — выпуклая функция, причём ${\displaystyle g(0)=0.}$ Тогда для любого числа ${\displaystyle p>-1}$ имеет место неравенство: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.}$

Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при ${\displaystyle p=0.}$

Доказательство

Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности ${\displaystyle 1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots }$:

${\displaystyle M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leqslant M_{arithm}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}}$

где ${\displaystyle M_{geom}}$ означает среднее геометрическое, а ${\displaystyle M_{arithm}}$ — среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:

${\displaystyle n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}}$

или, заменив ${\displaystyle n}$ на ${\displaystyle n+1}$:

${\displaystyle (n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1}}}$ для любого ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

Отсюда:

${\displaystyle M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,}$

или:

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg (}\sum _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geqslant 1}\,a_{k}\,,}$

что завершает доказательство.

Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}}$

для неотрицательных чисел ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle p>1}$; для этого надо заменить ${\displaystyle a_{n}}$ на ${\displaystyle a_{n}^{1/p}}$ и устремить ${\displaystyle p}$ к бесконечности.