Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Неравенство о среднем квадратическом, арифметическом, геометрическом и гармоническом

утверждает, что среднее арифметическое из списка неотрицательных вещественных чисел больше или равно среднему геометрическому из того же Из Википедии, свободной энциклопедии

Неравенство о среднем квадратическом, арифметическом, геометрическом и гармоническом
Remove ads

Неравенство о среднем квадратическом, арифметическом, геометрическом и гармоническом гласит, что для любых положительных чисел верно неравенство:

Равенство тогда и только тогда, когда .

Это неравенство является частным случаем неравенства о средних (неравенство Коши).

Thumb
Часть конуса , определяемая средним геометрическим чисел и (красная), лежит между плоскостью , определяемой средним арифметическим (синяя), и частью конуса , определяемой средним гармоническим (зелёная)
Thumb
Геометрическое доказательство того, что среднее арифметическое двух чисел больше их среднего геометрического ()
Remove ads

Определения

Суммиров вкратце
Перспектива

Выражение

называется средним арифметическим чисел .

Выражение

называется средним геометрическим чисел .

Выражение

называется средним гармоническим чисел .

Выражение

называется средним квадратическим чисел .

Remove ads

Связанные результаты

История

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году[1].

Доказательство

Суммиров вкратце
Перспектива

При n = 2

Thumb
Рис. 1

Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая . Пускай нам даны два отрезка длины и . Тогда построим окружность диаметром (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку на расстоянии . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках, и . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник прямоугольный, так как угол — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, — высота треугольника , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, . Аналогично, из треугольника получаем, что , поэтому . Так как — хорда окружности с диаметром , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что , или же . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при .

Алгебраическое же доказательство может быть построено следующим образом:

Отметим, что первый переход равносилен в силу неотрицательности и .

При n = 4

Достаточно положить , а также . Нетрудно видеть, в силу доказанного, что

.

По индукции с обратным шагом

Очевидно, переход от 2 к 4 по индукции влечёт за собой справедливость неравенства для , причём для интересующего нас найдётся . Полагая неравенство верным для , докажем его справедливость для . Для этого достаточно положить , тогда

По принципу индукции приведённое доказательство верно также и для .

Прямое доказательство

Поделим обе части неравенства на и произведем замену . Тогда при условиях необходимо доказать, что (1).

Воспользуемся методом математической индукции.

Нужно доказать, что если , то . Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для . Пусть , причем выберем из последовательности () такие два члена, что , (такие точно существуют, т.к. ). Тогда выполнены оба условия и предполагается доказанным неравенство или . Теперь заменим на . Это возможно сделать в силу того, что или , что, очевидно выполняется, так как . Таким образом, неравенство доказано.

Доказательство при помощи неравенства Бернулли

Воспользуемся методом математической индукции. Пусть неравенство доказано для чисел. Докажем его для числа.

Пусть, без ограничения общности, ― наибольшее из чисел . Сделаем замену . Тогда для некоторого .

, что и требовалось.

Здесь переход (1) был сделан по неравенству Бернулли, а переход (2) ― по предположению индукции.

Remove ads

Отражение в культуре

Эпизод с доказательством, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, присутствует в одной из сцен кинофильма «Сердца четырёх» 1941 года.

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads