Неравенство Кон-Фоссена

Неравенство Кон-Фоссена связывает интеграл от гауссовой кривизны некомпактной поверхности с её эйлеровой характеристикой. Это неравенство аналогично формуле Гаусса — Бонне.

Названо в честь Стефана Эммануиловича Кон-Фоссена.

Формулировка

Для любой поверхности ${\displaystyle S}$ с полной римановой метрикой и ограниченной интегральной кривизной выполняется неравенство^[1]

${\displaystyle \iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),}$

где ${\displaystyle K}$ обозначает гауссову кривизну и ${\displaystyle \chi (S)}$ — Эйлерову характеристику ${\displaystyle S}$.

Примеры

• Если ${\displaystyle S}$ — компактная поверхность без края, то неравенство переходит в равенство согласно формуле Гаусса — Бонне.
• Если ${\displaystyle S}$ — плоскость, то неравенство становится строгим (его левая часть равна нулю, правая — ${\displaystyle 2\pi }$).