Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал — идеал ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$, для которого существует натуральное число ${\displaystyle k}$, такое, что ${\displaystyle I^{k}=0}$^[1] (${\displaystyle I^{k}}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из ${\displaystyle k}$ элементов идеала ${\displaystyle I}$, то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число ${\displaystyle k}$, такое, что произведение любых ${\displaystyle k}$ элементов идеала ${\displaystyle I}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец^[англ.].

В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$ вычетов по модулю ${\displaystyle p^{n}}$, где ${\displaystyle p}$ — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).

В конечномерной алгебре Ли ${\displaystyle g}$ существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов ${\displaystyle x\in g}$, для которых эндоморфизм ${\displaystyle y\to [x,y]}$ для ${\displaystyle y\in g}$ нильпотентен.

Связь с ниль-идеалами

Всякий нильпотентный идеал является ниль-идеалом^[англ.], обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементов^[1].

В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентным^[2]. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема Левицкого^[3].