Нормальная модальная логика

Нормальная модальная логика — множество формул L, содержащее^[1]:

• Все пропозициональные тавтологии;
• ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$;
• ${\displaystyle \diamondsuit A=\neg \Box \neg A}$.

и замкнутое относительно правил:

• modus ponens: ${\displaystyle A\to B,A\in L}$ следует из правила ${\displaystyle B\in L}$;
• подстановки;
• обобщения: ${\displaystyle A\in L}$ следует из правила ${\displaystyle \Box A\in L}$.^{[уточнить]}

Наиболее компактную логику, удовлетворяющую указанным условиям, называют K. Большинство широко используемых в настоящее время модальных логик, имеющих значение для философии, например, S4 и S5 — К. И. Льюиса, являются нормальными и, следовательно, являются расширениями K. Однако ряд деонтических и эпистемических логик, например, являются ненормальными, часто потому, что в них отсутствует схема Крипке.

Каждая нормальная модальная логика является регулярной и, следовательно, классической.

Общие нормальные модальные логики

В следующей таблице перечислены несколько наиболее распространённых нормальных модальных систем. Условные обозначения относятся к таблице семантика Крипке § Общие схемы модальных аксиом. Условия фреймов для некоторых систем были упрощены: логики являются обоснованными и полными, относительно классов фреймов, указанных в таблице, но также могут соответствовать и более обширному классу фреймов.

Имя	Аксиомы	Состояние фрейма
K	—	все фреймы
T	T	возвратный
K4	4	переходный
S4	T, 4	предпорядок
S5	T, 5 или D, B, 4	отношение эквивалентности
S4.3	T, 4, H	общий предпорядок (total preorder)
S4.1	T, 4, М	предпорядок,${\displaystyle \forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))}$
S4.2	T, 4, G	направленный предпорядок
GL, K4W	GL или 4, GL	конечный строгий частичный порядок
Grz, S4Grz	Grz или T, 4, Grz	конечный частичный порядок
D	D	серийный (serial)
D45	D, 4, 5	транзитивный, последовательный и евклидовый