Оболочка голоморфности

Оболо́чка голомо́рфности (англ. envelope or hull of holomorphy^[1]) области — понятие комплексного анализа, раздела математики, наибольшая область комплексного пространства такая, что всякая функция, голоморфная в исходной области, голоморфно продолжается в оболочку голоморфности^{[2][3][4][5][6]}. Любая другая область, имеющая такое свойство, принадлежит оболочке голоморфности^[5].

Альтернативная формулировка: оболочка голоморфности области — наименьшая область голоморфности комплексного пространства такая, что всякая функция, голоморфная в исходной области, голоморфно продолжается в оболочку голоморфности, то есть пересечение областей голоморфности всех функций, голоморфных в исходной области^[7][5].

Оболочка голоморфности есть область голоморфности, и если область комплексного пространства изначально голоморфна, то её оболочка совпадает с самой областью^[2][4].

Если одна область лежит в другой области, то и оболочка голоморфности меньшей области лежит в оболочке голоморфности большей области^[5].

Поскольку на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ любая область совпадает со своей оболочкой голоморфности (поскольку любая область в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ есть область голоморфности^[8]), то понятие оболочки голоморфности бессмысленно для одной комплексной переменной^[4][5]. В комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, появляется проблема нахождения для данной области её оболочки голоморфности, поскольку произвольная область может и не быть областью голоморфности. Другими словами, имеются такие области, что всякая функция, в них голоморфная, голоморфно продолжается в более широкую (в общем случае неоднолистную) область^[2].

В некоторых приложениях, в частности, в аксиоматической квантовой теории поля, имеется нетривиальная проблема о построении оболочек голоморфности некоторых специальных областей, отражающих физические требования спектральности, локальной коммутативности и лоренцовой ковариантности. При этом особенно полезными оказываются теорема Боголюбова «острие клина» и теоремы непрерывности^[2].