Аксиоматическая квантовая теория поля

Аксиоматическая квантовая теория поля (Аксиоматическая теория поля) — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.

Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы^[1]), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.

Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицы^[1]).

В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление Гейзенберга^[2], в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.

Аксиомы квантовой теории поля

Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемыми

Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине ${\displaystyle a}$ ставится в соответствие самосопряжённый оператор ${\displaystyle A}$. Если величине ${\displaystyle a}$ соответствует оператор ${\displaystyle A}$, то величине ${\displaystyle f(a)}$ соответствует оператор ${\displaystyle f(A)}$^[3][4][5].

Релятивистская инвариантность

Средние значения физических наблюдаемых ${\displaystyle {\bar {a}}=(\Psi ,A\Psi )}$ не изменяются относительно собственных преобразований Пуанкаре^[2][6]. Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре (теорема Баргмана-Вигнера)^[7].

Постулат локальности

Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собой^[8][9][10].

${\displaystyle \left[\varphi _{j}(x),\varphi _{k}(y)\right]_{\pm }=\left[\varphi _{j}(x),\varphi _{k}^{*}(y)\right]_{\pm }=0}$ при ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).

Принцип спектральности

Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классов^[11][12]:

• ${\displaystyle P^{2}=m^{2}>0,P_{0}>0}$ — элементарные частицы с положительной массой.

• ${\displaystyle P^{2}=0,P\neq 0,P_{0}>0}$ — элементарные частицы с нулевой массой.

• ${\displaystyle P=0}$ — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.

Здесь ${\displaystyle P^{2}}$ — квадрат оператора четырёхмерного импульса, ${\displaystyle m}$ — масса элементарной частицы, ${\displaystyle P_{0}}$ — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.

Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поля

• Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния^[13].
• Неизвестно описание класса обобщённых функций ${\displaystyle F_{4}}$, удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана^[14]:${\displaystyle \int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0}$.

Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поля

Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.

Алгебраическая квантовая теория поля (AQFT)^[15]

Функториальная квантовая теория поля (FQFT)

FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или пространственно-временной интерполяции между этими пространствами.