Объединение множеств

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обычно обозначается ${\displaystyle A}$ ∪ ${\displaystyle B}$, но иногда можно встретить запись в виде суммы ${\displaystyle A+B}$.

Объединение A и B

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Тогда их объединением называется множество

${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}$

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$ Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

${\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}$

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ${\displaystyle 2^{X};}$
• Операция объединения множеств коммутативна:

  ${\displaystyle A\cup B=B\cup A;}$

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);}$

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:^[1]

  ${\displaystyle \left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)}$

• Пустое множество ${\displaystyle X}$ является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  ${\displaystyle A\cup \varnothing =A;}$

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  ${\displaystyle A\cup A=A.}$

Примеры

• Пусть ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.}$ Тогда

${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};}$

• ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}$