Однородный многочлен

Не следует путать с однородными уравнениями.

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.

Примеры

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ — однородный многочлен;

${\displaystyle x^{3}+2xy^{2}}$ — однородный многочлен;

${\displaystyle x^{4}+qxyz}$ — однородный многочлен;

${\displaystyle x+yz}$ — неоднородный многочлен.

Вариации и обобщения

Однородная функция.

Пусть группа ${\displaystyle G}$ действует на векторах из переменных. Многочлен ${\displaystyle P(z)}$ называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle P(gz)\equiv hP(z)}$, где множитель ${\displaystyle h}$ зависит только от ${\displaystyle g}$. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя ${\displaystyle h}$ называется степенью однородности многочлена.

Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:

${\displaystyle g\in \mathbb {C} \setminus \{0\}:g(z_{1},\dots ,\,z_{n})=(gz_{1},\dots ,\,gz_{n}),}$

поскольку

${\displaystyle P(gz)=\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(gz)^{\alpha }=g^{k}\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(z)^{\alpha }=g^{k}P(z).}$

В данном случае степень однородности многочлена ${\displaystyle k}$ совпадает с его степенью.