Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть ${\displaystyle L}$ есть векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — базис в ${\displaystyle L}$.

Функция ${\displaystyle Q:L\to K}$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

${\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

где ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}}$, а ${\displaystyle a_{ij}}$ — некоторые элементы поля ${\displaystyle K}$.

Связанные определения и свойства

• Матрицу ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ называют матрицей квадратичной формы ${\displaystyle Q(x)}$ в данном базисе. В случае, если характеристика поля ${\displaystyle K}$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

${\displaystyle Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}}$.

• При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$) с матрицей замены ${\displaystyle C}$ матрица квадратичной формы изменяется по формуле

${\displaystyle A'=C^{T}A\,C,}$

где ${\displaystyle A'}$ — матрица квадратичной формы в новом базисе.

• Из формулы ${\displaystyle A'=C^{T}A\,C}$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг ${\displaystyle n}$, то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
• Для любой квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ существует единственная симметричная билинейная форма ${\displaystyle B}$ такая, что ${\displaystyle Q(x)=B(x,x)}$. Билинейную форму ${\displaystyle B}$ называют полярной к ${\displaystyle Q}$, если она может быть вычислена по формуле

${\displaystyle B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).}$

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

• Квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого ${\displaystyle x\neq 0}$ выполнено неравенство ${\displaystyle Q(x)>0}$ ${\displaystyle (Q(x)<0)}$. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)}$ называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)}$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если ${\displaystyle Q(x)\geq 0}$ ${\displaystyle (Q(x)\leq 0)}$ для любого ${\displaystyle x\in L}$ и существует ${\displaystyle x\neq 0}$ такой, что ${\displaystyle Q(x)=\ 0}$.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

• Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причём минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

${\displaystyle Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^{2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}$

где ${\displaystyle r}$ — ранг квадратичной формы. В этом случае коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы ${\displaystyle p+q=n}$, а в случае вырожденной — ${\displaystyle p+q<n}$.

Существует также нормальный вид квадратичной формы:${\displaystyle Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}$.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причём привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Запрос «Закон инерции Сильвестра»^{[[d:Q1752621#sitelinks-wikipedia|[d]]]} перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Число ${\displaystyle q}$ (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число ${\displaystyle p-q}$ (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару ${\displaystyle (p,q)}$. Числа ${\displaystyle p,q,p-q}$ являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

${\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}$

где ${\displaystyle r}$ — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один-единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

• Скалярное произведение векторов ${\displaystyle (x,y)}$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)=(x,x)}$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору ${\displaystyle x}$ квадрат его длины.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2}}$ на плоскости (вектор ${\displaystyle x}$ имеет две координаты: ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду ${\displaystyle x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}}$ с помощью линейной замены ${\displaystyle x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'}$.

См. также

• Теорема Витта
• Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду