Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ задана числовая функция ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ и число ${\displaystyle a}$ — предельная точка области определения ${\displaystyle M}$. Существуют различные определения для односторонних пределов функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для всякой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, состоящей из точек, больших числа ${\displaystyle a}$, которая сама сходится к числу ${\displaystyle a}$, соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}$

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для всякой последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, состоящей из точек, меньших числа ${\displaystyle a}$, которая сама сходится к числу ${\displaystyle a}$, соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$.^[1]

  ${\displaystyle \lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}$

Односторонний предел по Коши

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для всякого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ отыщется отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех точек ${\displaystyle x}$ из интервала ${\displaystyle \left(a,a+\delta \right)}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$

• Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для всякого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ отыщется отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$, такое, что для всех точек ${\displaystyle x}$ из интервала ${\displaystyle \left(a-\delta ,a\right)}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$.^[1]

  ${\displaystyle \lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle a\in M'.}$ Тогда системы множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}$

и

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

${\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{+}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a+}f(x);}$

${\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{-}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a-}f(x).}$

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);}$

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).}$

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • ${\displaystyle f\left(a+\right)}$ и ${\displaystyle f\left(a+0\right)}$ для правого предела;
  • ${\displaystyle f\left(a-\right)}$ и ${\displaystyle f\left(a-0\right)}$ для левого предела.

• При ${\displaystyle a=0}$ для сокращения записи вместо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0+0}f(x)}$ и ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-0}f(x)}$ обычно пишут ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +0}f(x)}$ и ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -0}f(x)}$ соответственно.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.^[1]

Примеры

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$
  • Область определения: ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • Правый предел: ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a+0}x=a}$
  • Левый предел: ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a-0}x=a}$
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a}x=a}$
• Кусочно-заданная функция
  • ${\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases}}}$
  • Область определения: ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{3\right\}}$
  • Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to 3+0}f\left(x\right)=11}$
  • Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to 3-0}f\left(x\right)=9}$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке ${\displaystyle x=3}$ не существует
• Функция sgn(x)
  • ${\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}}$
  • Область определения: ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=+1}$
  • Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to 0-0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=-1}$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке ${\displaystyle x=0}$ не существует

См. также

• Предел функции