Оператор Шрёдингера

Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида:

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})}$.

Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике^[1], дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне^[2]), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства Морса^[3]). Допускает многочисленные обобщения^[4]. При некоторых условиях на потенциалы ${\displaystyle v_{ij}(x)}$ и ${\displaystyle v_{j}(x)}$ является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций ${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$^[5][6]. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера^[6]. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы ${\displaystyle n}$ заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: ${\displaystyle H=-\Delta +v(x)}$, где ${\displaystyle x}$ — вектор трёхмерного пространства^[1].

Одномерный оператор Шрёдингера

Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)}$,

где ${\displaystyle z}$ — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала ${\displaystyle v(z)\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle \left|z\right|\rightarrow \infty }$ его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — ${\displaystyle v(z)=z^{2}}$. Собственные значения ${\displaystyle \lambda _{n}=2n+1}$ и собственные функции ${\displaystyle \psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)}$, где ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$, ${\displaystyle H_{n}(z)}$ — полиномы Эрмита.

Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера

Для оператора Шрёдингера для системы ${\displaystyle n}$ частиц, определённого на гладких финитных функциях:

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})}$,

достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия:

${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty }$,

${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty }$,

и при ${\displaystyle \left|x\right|\geqslant R}$ условия:

${\displaystyle \left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M}$,

${\displaystyle \left|v_{j}(x)\right|\leqslant M}$.

Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j}}$^[5].