Краевая задача

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n-го порядка

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

${\displaystyle L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

где

${\displaystyle L(y)=\sum _{\nu =0}^{n}f_{\nu }(x)y^{(\nu )},}$

функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f_{\nu }(x)}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\neq 0}$, краевые условия заданы линейными формами

${\displaystyle U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}\left[\alpha _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(a)+\beta _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(b)\right],\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{\mu },\beta _{\mu }}$ имеет ранг ${\displaystyle m}$, при этом краевые условия линейно независимы. Если ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ и ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, краевая задача называется однородной, если только ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ — полуоднородной.^[1]

Задача на собственные значения

Собственными значениями называются те значения параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых однородная краевая задача

${\displaystyle L(y)+\lambda g(x)y=0,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если ${\displaystyle \varphi _{1}(x,\lambda ),\varphi _{2}(x,\lambda ),\dots ,\varphi _{n}(x,\lambda )}$ — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

${\displaystyle \varphi _{p}^{(q)}(a,\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad q=p-1,\\0,\quad q\neq p-1.\end{array}}\right.\quad p=1,2,\dots ,n,\quad q=0,\dots ,n-1,}$

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

${\displaystyle \Delta (\lambda )=\det[U_{\mu }(\varphi _{\nu })]}$. Если ${\displaystyle \Delta (\lambda )\not \equiv 0}$, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.^[2]

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

• Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
• Задача о разложении по собственным функциям. Если ${\displaystyle u_{\nu }(x)}$ — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция ${\displaystyle F(x)}$ может быть разложена в сходящийся ряд

${\displaystyle F(x)=\sum c_{\nu }u_{\nu }(x)}$

по функциям ${\displaystyle u_{\nu }(x)}$?^[3][4]

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}$

Функция Грина

Основная статья: Функция Грина

Теорема 1. Если однородная краевая задача ${\displaystyle L(y)=0,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$ имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции ${\displaystyle f(x)}$, непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, существует решение полуоднородной краевой задачи ${\displaystyle L(y)=f,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$, задаваемое формулой ${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi ,}$ где ${\displaystyle G(x,\xi )}$ — функция Грина однородной краевой задачи.[5]

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из ${\displaystyle n}$ раз непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle y}$, удовлетворяющих краевым условиям ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$, и действующий по правилу ${\displaystyle L(y)}$. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром ${\displaystyle G(x,\xi )}$.

Функция Грина ${\displaystyle G(x,\xi )}$ однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. ${\displaystyle G(x,\xi )}$ непрерывна и имеет непрерывные производные по ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle (n-2)}$-го порядка включительно для всех значений ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \xi }$ из интервала ${\displaystyle [a,b]}$.
2. При любом фиксированном ${\displaystyle \xi }$ из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ функция ${\displaystyle G(x,\xi )}$ имеет непрерывные производные ${\displaystyle (n-1)}$-го и ${\displaystyle n}$-го порядка по ${\displaystyle x}$ в каждом из интервалов ${\displaystyle [a,\xi )}$ и ${\displaystyle (\xi ,b]}$, причем производная ${\displaystyle (n-1)}$-го порядка имеет при ${\displaystyle x=\xi }$ скачок ${\displaystyle {\frac {1}{f_{n}(x)}}}$.
3. В каждом из интервалов ${\displaystyle [a,\xi )}$ и ${\displaystyle (\xi ,b]}$ функция ${\displaystyle G(x,\xi )}$, рассматриваемая как функция от ${\displaystyle x}$, удовлетворяет уравнению ${\displaystyle L(G)=0}$ и краевым условиям ${\displaystyle U_{\mu }(G)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$.

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.[6]

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

${\displaystyle L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n.}$

Решение имеет вид

${\displaystyle y=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi +\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}\psi _{k}(x),}$

где ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ — решения краевых задач

${\displaystyle L(y)=0,\quad U_{k}(y)=1,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu \neq k,\quad \mu =1,2,\dots ,n.}$^[7]

Краевая задача с параметром

${\displaystyle L(y)=\lambda y+f(x),\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,n,}$

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

${\displaystyle y(x)=\lambda \int _{a}^{b}G(x,\xi )y(\xi )d\xi +g(x),}$

где

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi .}$

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра ${\displaystyle G(x,\xi )}$.^[8]

Системы линейных дифференциальных уравнений

Краевая задача состоит в отыскании системы функций ${\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x),\dots ,u_{n}(x)}$, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

${\displaystyle u'_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{m}f_{\mu ,\nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

и краевым условиям

${\displaystyle U_{\mu }(u)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n,}$

где ${\displaystyle f_{\mu },f_{\mu ,\nu }}$ — функции, непрерывные на отрезке ${\displaystyle a\leq x\leq b}$,

${\displaystyle U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^{n}\left[\alpha _{\mu ,k}u_{k}(a)+\beta _{\mu ,k}u_{k}(b)\right],}$

матрица

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1,1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _{n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)}$

имеет ранг ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — заданные числа.^[9]

Численные методы решения

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

• Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.^[10]
• Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.^[11][12]
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).^[13][14][15]
• Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. ^[16]
• Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.^[17]
• Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

${\displaystyle y''=p(x)y+q(x),\quad y'(a)=\alpha _{0}y(a)+\alpha _{1},\quad y'(b)=\beta _{0}y(b)+\beta _{1}}$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle y'(x)=\alpha _{0}(x)y(x)+\alpha _{1}(x)\quad (*)}$,

где функции ${\displaystyle \alpha _{0}(x),\alpha _{1}(x)}$ находятся как решения задачи Коши

${\displaystyle \alpha '_{0}(x)+\alpha _{0}^{2}(x)=p(x),\quad \alpha _{0}(a)=\alpha _{0},}$

${\displaystyle \alpha '_{1}(x)+\alpha _{0}(x)\alpha _{1}(x)=q(x),\quad \alpha _{1}(a)=\alpha _{1}.}$

Затем ${\displaystyle y(x)}$ находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию ${\displaystyle y'(b)=\alpha _{0}(b)y(b)+\alpha _{1}(b)}$.^[18][19]

Применение

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.^[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.^[20]

Уравнения в частных производных

Обозначения

Пусть ${\displaystyle G}$ — ограниченная область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle n}$ — вектор нормали к границе ${\displaystyle S}$, направленный вовне области ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}}$ — производная по направлению нормали, ${\displaystyle Q_{\infty }=G\times (0,\infty )}$. Функции ${\displaystyle p,q,\alpha ,\beta ,\rho }$ удовлетворяют условиям:

${\displaystyle p\in C^{1}({\bar {G}}),\quad q\in C({\bar {G}}),\quad p(x)>0,\quad q(x)\geq 0,\quad x\in G,}$

${\displaystyle \alpha \in C(S),\quad \beta \in C(S),\quad \alpha (x)\geq 0,\quad \beta (x)\geq 0,\quad \alpha (x)+\beta (x)>0,\quad x\in S,}$

${\displaystyle \rho \in C({\bar {G}}),\quad \rho (x)>0,\quad x\in {\bar {G}}.}$

Здесь ${\displaystyle {\bar {G}}=G\cup S}$ — замыкание области ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ — множество функций, непрерывных в ${\displaystyle {\bar {G}}}$, ${\displaystyle C^{k}({\bar {G}})}$ — множество функций, ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых в ${\displaystyle {\bar {G}}}$.

Уравнения гиперболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции ${\displaystyle u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty })}$, удовлетворяющей уравнению

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },}$

начальным условиям

${\displaystyle u_{|t=0}=u_{0}(x),\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}_{|t=0}=u_{1}(x),\quad x\in {\bar {G}},}$

и граничному условию

${\displaystyle \alpha u+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}|_{S}=0.}$

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

${\displaystyle F\in C(Q_{\infty }),\quad u_{0}\in C^{1}({\bar {G}}),\quad u_{1}\in C({\bar {G}})}$

и условие согласованности

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}=0}$.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от ${\displaystyle u_{0},u_{1},F}$.^[21]

Уравнения параболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции ${\displaystyle u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty }),\,{\mbox{grad}}_{x}\,u\in C({\bar {Q}}_{\infty })}$, удовлетворяющей уравнению

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },}$

начальному условию

${\displaystyle u_{t=0}=u_{0}(x),\quad x\in {\bar {G}},}$

и граничному условию

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}=v(x,t),\quad (x,t)\in S\times [0,\infty ).}$

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

${\displaystyle F\in C(Q_{\infty },\quad u_{0}\in C({\bar {G}}),\quad v\in C(S\times [0,\infty )),}$

и условие согласованности

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}|_{S}=v(x,0).}$

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от ${\displaystyle F,u_{0},v}$.^[22]

Уравнения эллиптического типа

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

${\displaystyle \Delta u=0}$.

Пусть область ${\displaystyle G\in \mathbb {R} ^{3}}$ такова, что ${\displaystyle G_{1}=\mathbb {R} ^{3}\backslash G}$.

• Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области ${\displaystyle G}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}})}$, принимающую на границе ${\displaystyle S}$ заданные (непрерывные) значения ${\displaystyle u_{0}^{-}}$.
• Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области ${\displaystyle G_{1}}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}}_{1})}$, принимающую на ${\displaystyle S}$ заданные (непрерывные) значения ${\displaystyle u_{0}^{+}}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
• Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области ${\displaystyle G}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}})}$, имеющую на ${\displaystyle S}$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную ${\displaystyle u_{1}^{-}}$.
• Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области ${\displaystyle G_{1}}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}}_{1})}$, имеющую на ${\displaystyle S}$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную ${\displaystyle u_{1}^{+}}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

${\displaystyle \Delta u=-f}$.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.^[23]

Методы решения

• Метод разделения переменных^[24][25]
• Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)^[26]
• Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)^[27]
• Разностные методы.^[28]
• Вариационные методы.^[29]
• Метод конечных элементов.

См. также

• Задача Коши
• Начальные и граничные условия
• Задача Штурма-Лиувилля
• Функция Грина
• Волновое уравнение
• Гиперболическое уравнение
• Параболическое уравнение
• Эллиптическое уравнение
• Задача Дирихле
• Задача Неймана