Оператор эволюции

Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.

Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона

Основная статья: Гамильтониан (квантовая механика)

Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}}$

где ${\displaystyle T,{\overline {T}}}$ — операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}$

Свойства оператора эволюции

1. ${\displaystyle {\hat {S}}(t_{2},t_{1})}$^[1] — унитарный оператор.

2. ${\displaystyle {\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}}$.

3. ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1},t}$^[2], где ${\displaystyle {\hat {I}}}$ — единичный оператор.

Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом

Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства ${\displaystyle |\Psi \rangle }$. Введём оператор ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$, который действует по правилу:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle }$.

Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

${\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ — оператор Гамильтона.

Если гамильтониан не зависит от времени, то ${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }$ — является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}$.

Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть ${\displaystyle t_{0}<t}$. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы ${\displaystyle (t_{n},t_{n+1})}$ и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен ${\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}(t_{n})}$, при ${\displaystyle t_{n}<t\leq t_{n+1}}$. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\left|\Psi (t_{n})\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }$.

Теперь введём оператор упорядочивания по времени ${\displaystyle T}$, который действует по следующему правилу:

${\displaystyle T\{{\hat {H}}(t_{P(m)}){\hat {H}}(t_{P(m-1)})\dots {\hat {H}}_{P(1)}\}={\hat {H}}(t_{m}){\hat {H}}(t_{m-1})\dots {\hat {H}}(t_{1})}$

при ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{m}}$, для любой перестановки ${\displaystyle P(1,2\dots ,m)}$.

С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }$.

Для коммутирующих операторов ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ справедливо, что ${\displaystyle e^{\hat {A}}e^{\hat {B}}=e^{{\hat {A}}+{\hat {B}}}}$. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\sum \limits _{i=0}^{n}{\hat {H}}(t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }$.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ получаем, что

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }$.

Поэтому

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}$.

Теперь рассмотрим оператор ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$ при ${\displaystyle t<t_{0}}$. Это то же самое, если рассмотреть ${\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t)}$ при ${\displaystyle t_{0}<t}$. Воспользуемся тем, что ${\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t){\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {I}}}$,

где ${\displaystyle {\hat {I}}}$ — единичный оператор.

Тогда:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow 0}{\hat {S}}(t_{0},t)e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }={\hat {I}}}$

и непосредственной проверкой убеждаемся, что

${\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t)=\lim _{n\rightarrow 0}e^{i{\hat {H}}(t_{0})(t-t_{0})/\hbar }\dots e^{i{\hat {H}}(t_{n-1})(t_{n}-t_{n-1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t)(t-t_{n})/\hbar }={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}$,

где ${\displaystyle {\overline {T}}}$ — оператор анти-упорядочивания по времени.