Гамильтониан (квантовая механика)

Эта статья — об операторе Гамильтона в квантовой механике. О функции Гамильтона в классической механике см. Функция Гамильтона.

Гамильтониа́н (${\displaystyle {\hat {H}}}$ или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Уравнение Шрёдингера

Основная статья: Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ — состояние системы в момент времени t, то

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для гамильтониана в координатном представлении

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$

и для трёх измерений:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$

В трёх измерениях:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},}$

где угловая частота ${\displaystyle \omega }$ коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}},}$

поэтому гамильтониан имеет вид

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}.}$

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2},}$

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

В квантовой теории поля

В квантовой теории поля гамильтониан является фундаментальным оператором, описывающим динамику системы и её полную энергию. Его конструкция обобщает гамильтонов формализм на квантовые релятивистские системы с бесконечным числом степеней свободы.

Канонический формализм и квантование

В классической теории поле рассматривается как динамическая система. Плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ определяет динамику системы, а сам лагранжиан вычисляется как интеграл от плотности:

${\displaystyle L(t)=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ).}$

Канонический импульс, сопряжённый полю, определяется через функциональную производную:

${\displaystyle \pi ({\vec {x}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}({\vec {x}},t)}}.}$

Гамильтониан получается путём преобразования Лежандра и представляет собой интеграл от плотности гамильтониана ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle H=\int d^{3}x\,{\mathcal {H}},\quad {\text{где}}\quad {\mathcal {H}}=\pi {\dot {\phi }}-{\mathcal {L}}.}$

При переходе к квантовой теории классические поля ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \pi }$ заменяются операторами ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$. Фундаментальным постулатом является введение канонических коммутационных соотношений (для бозонных полей) в один и тот же момент времени:

${\displaystyle [{\hat {\phi }}({\vec {x}},t),{\hat {\pi }}({\vec {y}},t)]=i\hbar \delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {y}}),\quad [{\hat {\phi }}({\vec {x}},t),{\hat {\phi }}({\vec {y}},t)]=[{\hat {\pi }}({\vec {x}},t),{\hat {\pi }}({\vec {y}},t)]=0.}$

Для фермионных полей коммутаторы заменяются на антикоммутаторы. Соответственно, гамильтониан также становится оператором:

${\displaystyle {\hat {H}}=\int d^{3}x\,{\hat {\mathcal {H}}}({\hat {\phi }},{\hat {\pi }}).}$

Структура гамильтониана

Оператор полной энергии обычно разделяют на две части:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{\text{int}}.}$

• Свободный гамильтониан (${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$) описывает динамику невзаимодействующих полей. После процедуры нормального упорядочения он принимает диагональный вид в импульсном представлении. Например, для скалярного поля:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}\,\omega _{\vec {p}}\,{\hat {a}}_{\vec {p}}^{\dagger }{\hat {a}}_{\vec {p}},}$ где ${\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\sqrt {|{\vec {p}}|^{2}+m^{2}}}}$

Этот оператор можно интерпретировать как сумму энергий всех частиц в системе.

• Гамильтониан взаимодействия (${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}}$) описывает взаимодействие между полями и конструируется из произведений операторов полей в одной точке пространства. Например, в ${\displaystyle \phi ^{4}}$-теории ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}\sim \int$ :{\hat {\phi }}^{4}:\,d^{3}x} . Эта часть гамильтониана ответственна за процессы рассеяния, рождения и уничтожения частиц.

Динамика и релятивистская инвариантность

Гамильтониан является генератором временной эволюции. В представлении Шрёдингера состояние системы эволюционирует по уравнению:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle .}$

Поскольку гамильтониан соответствует полной энергии системы, а энергия — это временная компонента 4-вектора энергии-импульса, он не является лоренц-инвариантным. Однако вся квантовая теория поля является релятивистски инвариантной. Это обеспечивается тем, что наблюдаемые физические величины, такие как S-матрица (матрица рассеяния), которая вычисляется с помощью гамильтониана взаимодействия, являются лоренц-инвариантными. Если плотность гамильтониана взаимодействия ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{int}}}$ является лоренц-скаляром, то и S-матрица, записываемая через временной интеграл ${\displaystyle \int {\hat {H}}_{\text{int}}\,dt}$, будет инвариантной.

Теоретико-полевые аспекты

• Теорема Хаага указывает на фундаментальную трудность в непротиворечивом построении взаимодействующих полей в формализме гамильтониана, хотя на практике теория возмущений успешно с этим справляется.
• В квантовой теории гравитации понятие глобального времени теряется, что требует обобщения гамильтонова формализма.

Ссылки

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9.