Описанная сфера

Описанная сфера — сфера, содержащая внутри себя многогранник, все вершины которого лежат на сфере.^[1][2] В двумерном случае описанная сфера представляет собой описанную окружность.^[3]

Сфера, описанная вокруг куба

Существование

Если такая сфера существует, она не обязательно является наименьшей содержащей многогранник сферой. Например, тетраэдр, образованный вершиной куба и тремя её соседями, обладает той же описанной сферой, что и куб, но данный тетраэдр можно поместить в меньшую сферу, в которой три соседние вершины будут лежать на экваторе. Наименьшая сфера, содержащая данный многогранник, является описанной сферой для выпуклой оболочки подмножества вершин многогранника.^[4]

Связанные понятия

Описанная сфера является трёхмерным аналогом описанной окружности. Все правильные многогранники обладают описанными сферами, но большинство неправильных многогранников не имеет описанных сфер, поскольку в общем случае не все вершины могут лежать на одной сфере. Описанная сфера (при её наличии) является примером ограничивающей сферы. Для любого многогранника можно определить наименьшую ограничивающую сферу.^[4]

Среди других сфер, определяемых для некоторых многогранников, можно отметить полувписанную сферу, касающуюся всех рёбер многогранника, и вписанную сферу, касающуюся всех граней многогранника. Для правильных многогранников все три сферы существуют и являются концентрическими.^[5]