Определитель Кэли — Менгера

Определитель Кэли — Менгера позволяет выразить объём ${\displaystyle n}$-мерного симплекса через квадраты его рёбер, что обобщает формулу Герона. Он также используется в задаче определения можно ли данный набор расстояний между конечным числом точек реализовать в Евлидовом пространстве.

Назван в честь Артура Кэли и Карла Менгера.

Определение

Пусть ${\textstyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}}$ — точки в ${\displaystyle k}$-мерном евклидовом пространстве, с ${\displaystyle k\geq n}$. Эти точки являются вершинами n-мерного симплекса: треугольника при ${\displaystyle n=2}$, тетраэдра при ${\displaystyle n=3}$ и так далее. Пусть ${\textstyle d_{ij}}$ — евклидовы расстояния между вершинами ${\displaystyle p_{i}}$ и ${\displaystyle p_{j}}$. n-мерный объем этого симплекса, обозначаемый символом ${\displaystyle v_{n}}$, может быть выражен через определитель следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}=\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Значение первого определителя и называется определителем Кэли — Менгера.

Свойства

• Для набора из трёх неотрицательных чисел ${\displaystyle d_{12},d_{13},d_{23}}$, неотрицательность определителя Кэли — Менгера эквиалента выполнению всех трёх неравенств треугольника

  ${\displaystyle {\begin{aligned}d_{12}+d_{13}&\geqslant d_{23},\\d_{12}+d_{23}&\geqslant d_{13},\\d_{13}+d_{23}&\geqslant d_{12}.\end{aligned}}}$

• В случае с ${\displaystyle n=2}$, мы получаем формулу Герона

  ${\displaystyle {\begin{aligned}16\cdot S^{2}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}=\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}=\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle S}$ обозначает площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$.

• При ${\displaystyle n=2}$ определитель Кэли — Менгера является симметричным многочленом от ${\displaystyle d_{ij}}$. При ${\displaystyle n>2}$ это уже не выполняется, но определитель остаётся инвариантным относительно перестановки вершин.

• Из равенства следует, что у любого набора точек евклидова пространства определитель Кэли — Менгера неотрицателен.
  • Теорема Менгера характеризует метрики на конечном множестве точек ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{n}}$, которые допускают изометрическое вложение в евклидово пространство. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определители Кэли — Менгера всех поднаборов были неотрицательны.

Литература

• Берже М. Геометрия. — М.: Мир, 1984. — Т. 1—5.