Формула Герона

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника ${\displaystyle S}$ по длинам его сторон ${\displaystyle a,b,c}$:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$,

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника: ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)}$.

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$,

где ${\displaystyle \ \gamma }$ — угол треугольника, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$. По теореме косинусов:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}$

Отсюда:

${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}$

Значит,

${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$

${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$

${\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$.

Замечая, что ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$, ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$, получаем:

${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$

ч.т.д.

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

Для высоты h у нас было равенство h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Замечая, что ${\displaystyle b+c-a=2p-2a}$, ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a-b+c=2p-2b}$, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

Используя основное равенство для площади треугольника ${\displaystyle S={\frac {ch}{2}}}$ и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}$

ч.т.д.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

  ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}$

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:

  ${\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера^[англ.] для вычисления гиперобъёма симплекса.

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ и их полусумму ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$^[2]:

  ${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$;

через длины высот ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$ и ${\displaystyle h_{c}}$ и полусумму их обратных величин ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$^[3]:

${\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}$;

через углы треугольника ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$, полусумму их синусов ${\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2}$ и диаметр описанной окружности ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$^[4]:

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}$

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$,

где ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель^[5]:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}$

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}$, то для его объёма ${\displaystyle V}$ верно выражение:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}}$.

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро ${\displaystyle u}$ противоположно ребру ${\displaystyle U}$ и так далее), тогда справедливы формулы^[6][7]:

  ${\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}}$.

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны ${\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}$ как:

  ${\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$,

где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр.