Определённый интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)➤. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции➤^[1]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)^[2].

Что такое определённый интеграл, анимация

Определение

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. Разобьём ${\displaystyle [a;b]}$ на части несколькими произвольными точками: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$. Тогда говорят, что произведено разбиение ${\displaystyle R}$ отрезка ${\displaystyle [a;b].}$ Далее, для каждого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$ выберем произвольную точку ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}$.

Определённым интегралом от функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю ${\displaystyle \lambda _{R}\rightarrow 0}$, если он существует независимо от разбиения ${\displaystyle R}$ и выбора точек ${\displaystyle \xi _{i}}$, то есть

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits _{\lambda _{R}\rightarrow 0}\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$

Если существует указанный предел, то функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой на ${\displaystyle [a;b]}$ по Риману.

Обозначения

• ${\displaystyle a}$ — нижний предел.
• ${\displaystyle b}$ — верхний предел.
• ${\displaystyle f(x)}$ — подынтегральная функция.
• ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}$ — длина частичного отрезка.
• ${\displaystyle \lambda _{R}=\sup {\Delta x_{i}}}$ — ранг разбиения, максимальная из длин частичных отрезков.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$ и графиком функции ${\displaystyle f(x)}$^[1].

Свойства

• Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — интегрируемы на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции, то их линейная комбинация ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ также является интегрируемой на ${\displaystyle [a,b]}$ функцией, причём ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)dx.}$
• Если ${\displaystyle f}$ — интегрируемая на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функция, то справедливо ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.}$
• Если ${\displaystyle f}$ — интегрируемая в окрестности точки ${\displaystyle a}$ функция, то справедливо ${\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0}$^[3].
• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a;b]}$, то она ограничена на нем.

Примеры вычислений

Далее приведены примеры расчёта определённых интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. ${\displaystyle \int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9}={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\approx 72{,}3}$
2. ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b}$
3. ${\displaystyle \int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8}$