Монотонная функция

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция ${\displaystyle f}$, приращение которой ${\displaystyle \Delta f=f(x')-f(x)}$ при ${\displaystyle \Delta x=(x'-x)>0}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение ${\displaystyle \Delta f}$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.

Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.

Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Определения

Пусть дана функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тогда

• функция ${\displaystyle f}$ называется возраста́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го возраста́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется убыва́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го убыва́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)}$.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Более естественно, когда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумеваются строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)^[2]:

• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})}$.
• Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Данная терминология более лаконична.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ,}$ определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  ${\displaystyle f}$ не убывает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$

  ${\displaystyle f}$ не возрастает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.}$

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго возрастает на ${\displaystyle (a,b);}$

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго убывает на ${\displaystyle (a,b).}$

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ${\displaystyle (a,b).}$ Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},}$ и всюду на интервале определена производная ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда ${\displaystyle f}$ строго возрастает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.}$

Аналогично, ${\displaystyle f}$ строго убывает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.}$

Примеры

• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка ${\displaystyle x=0}$ является стационарной, т.е. в этой точке ${\displaystyle f'(x)=0}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ является строго возрастающей не только на открытом интервале ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$, но и на замкнутом интервале ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$.
• Экспонента ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ строго возрастает на всей числовой прямой.
• Константа ${\displaystyle f(x)\equiv a,\;a\in \mathbb {R} }$ одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщения

• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка ${\displaystyle y\in Y}$ имеет связный прообраз ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.^[3]