Ортогональная система

Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов ${\displaystyle \left\{\varphi _{i}\right\}\subset H}$, что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

${\displaystyle (\varphi _{i},\varphi _{j})=0}$.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента ${\displaystyle {\vec {a}}}$ может быть вычислено по формулам: ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{i}\varphi _{i}}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {({\vec {a}},\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i})}}}$.

Случай, когда норма всех элементов ${\displaystyle ||\varphi _{i}||=1}$, называется ортонормированной системой.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама ― Шмидта.

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\sum _{k}\alpha _{k}\beta _{k}}$, где ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}}$.

См. также

• Ортогональный базис
• Ортогональные многочлены