Ортонормированная система

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение

Для любых элементов этой системы ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ скалярное произведение ${\displaystyle (\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента ${\displaystyle {\vec {a}}}$ может быть вычислено по формулам: ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{i}\varphi _{i}}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}=({\vec {a}},\varphi _{i})}$.

Примеры

• В конечномерном пространстве ${\displaystyle R^{n}}$ ортонормированной системой будет набор векторов:

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,0,1)}$.

• В пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ортонормированной системой будет множество функций:

${\displaystyle \varphi _{k}(x)={\sqrt {\frac {2}{l}}}\sin k{\frac {\pi }{l}}x}$.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$.

• В пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ система функций Радемахера является ортонормированной.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

См. также

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены