Гипероктаэдр

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб^[1], ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаи

Число измерений n	Название фигуры	Символ Шлефли	Изображение
1	отрезок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаэдр	{3;4}
4	шестнадцатиячейник	{3;3;4}
5	5-ортоплекс	{3;3;3;4}

Описание

${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр имеет ${\displaystyle 2n}$ вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при ${\displaystyle n>1)}$ вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его ${\displaystyle k}$-мерные гиперграни ${\displaystyle (k<n)}$ — одинаковые правильные симплексы; их число равно ${\displaystyle 2^{k+1}C_{n}^{k+1}.}$

Угол между двумя смежными ${\displaystyle (n-1)}$-мерными гипергранями (при ${\displaystyle n>1)}$ равен ${\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$.

${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр ${\displaystyle (n>1)}$ можно представить как две одинаковых правильных ${\displaystyle n}$-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме ${\displaystyle (n-1)}$-мерного гипероктаэдра.

В координатах

${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты ${\displaystyle (\pm 1;0;\ldots ;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,}$ ${\displaystyle (0;0;\ldots$ ;\pm 1).} При этом каждая из ${\displaystyle 2^{n}}$ его ${\displaystyle (n-1)}$-мерных гиперграней будет располагаться в одном из ${\displaystyle 2^{n}}$ ортантов ${\displaystyle n}$-мерного пространства.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;...;0)}$ будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек ${\displaystyle (x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),}$ чьи координаты удовлетворяют уравнению

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,}$

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.}$

Метрические характеристики

Если ${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр ${\displaystyle (n>1)}$ имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его ${\displaystyle n}$-мерный гиперобъём и ${\displaystyle (n-1)}$-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},}$

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.}$

Радиус описанной ${\displaystyle (n-1)}$-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

${\displaystyle R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},}$

радиус ${\displaystyle k}$-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех ${\displaystyle k}$-мерных гиперграней в их центрах; ${\displaystyle k<n}$) —

${\displaystyle \rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ${\displaystyle (n-1)}$-мерных гиперграней в их центрах) —

${\displaystyle r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.}$