Оснащённое многообразие

Оснащённое многообразие ― гладкое подмногообразие с фиксированной тривиализацией нормального расслоения.

Оснащённые многообразия введены Львом Семёновичем Понтрягиным в 1937 году.

Определение

Пусть гладкое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ вложено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ и пусть (${\displaystyle k}$-мерное) нормальное расслоение ${\displaystyle \nu }$, отвечающее этому вложению, тривиально. Оснащением многообразия ${\displaystyle M}$, отвечающим этому вложению, называется любая тривиализация расслоения ${\displaystyle \nu }$; при этом одному и тому же вложению могут отвечать разные оснащения.

Свойства

• Группы бордизмов оснащённых многообразий размерности ${\displaystyle n}$, лежащих в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$, изоморфны гомотопическим группам ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$.
  • На этом пути были вычислены группы ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$ и ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})}$.

Литература

• Понтрягин, Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — М., 1976.