Нормальное расслоение

Норма́льное расслое́ние подмногообразия ${\displaystyle \displaystyle X}$ риманова многообразия — векторное расслоение, состоящее из касательных векторов к объемлющему многообразию, которые перпендикулярны к ${\displaystyle \displaystyle X.}$

Слой этого расслоения в точке ${\displaystyle p\in X}$ называется нормальным пространством в точке ${\displaystyle \displaystyle p.}$

Свойства

Пусть ${\displaystyle f\,:X\to Y}$ есть погружение, ${\displaystyle \tau _{X}\,:TX\to X}$ и ${\displaystyle \tau _{Y}\,:TY\to Y}$ — касательные расслоения соответственно подмногообразий ${\displaystyle \displaystyle X}$ и ${\displaystyle \displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \displaystyle f^{*}(\tau _{Y})}$ — расслоение, индуцированное касательным расслоением ${\displaystyle \displaystyle \tau _{X},}$ а ${\displaystyle \nu _{X}\,:NX\to X}$ — нормальное расслоение ${\displaystyle \displaystyle X.}$

• Тогда

${\displaystyle f^{*}(\tau _{Y})=\nu _{X}\oplus \tau _{X}.}$

Отсюда следует, что нормальное расслоение изоморфно фактор-расслоению ${\displaystyle \displaystyle f^{*}(\tau _{Y})}$ по подрасслоению ${\displaystyle \displaystyle \tau _{X}}$.

• В частности, для любой пары римановых метрик на ${\displaystyle \displaystyle Y}$ определяемые ими нормальные расслоения изоморфны.