Основная теорема дифференциальной геометрии кривых

Основная теорема дифференциальной геометрии кривых описывает гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle s\mapsto \kappa (s)}$ и ${\displaystyle s\mapsto \tau (s)}$ — две гладкие функции, определённые на интервале ${\displaystyle \mathbb {I} }$. Предположим, что ${\displaystyle \kappa (s)>0}$ для всех ${\displaystyle s}$. Тогда существует гладкая кривая ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {I} \to \mathbb {R} ^{3}}$ с единичной скоростью, кривизной ${\displaystyle \kappa (s)}$, и кручением ${\displaystyle \tau (s)}$ при любом ${\displaystyle s\in \mathbb {I} }$. Более того, ${\displaystyle \gamma }$ однозначно определена с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.

Вариации и обобщения

• Для описания плоских кривых достаточно знать ориентированную кривизну кривой.
• В размерностях выше 3 требуются аналоги кручения высших порядков.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.

• Чернавский, А. В. Дифференциальная геометрия, 2-й курс.