Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество — соотношение ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$, выполняющееся для произвольного значения ${\displaystyle \alpha }$^[1]. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице^[2].

Доказательства

Используя единичную окружность

Применение теоремы Пифагора для вывода основного тригонометрического тождества

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$^[3]. Пускай на окружности лежит точка, расположенная под углом ${\displaystyle \alpha }$ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: ${\displaystyle x=\cos \alpha$ ;\ y=\sin \alpha } . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$^[4].

Используя прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с катетами ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и гипотенузой ${\displaystyle c}$

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и гипотенузой ${\displaystyle c}$ получаем:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}.}$

Согласно теореме Пифагора, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$ следовательно ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}$^[5].

См. также

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств