Отрицательное число

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел^[1]. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение ${\displaystyle 3+4-5}$ допустимо, а выражение с переставленными операндами ${\displaystyle 3-5+4}$ недопустимо.

Отрицательные значения на шкале термометра

Отрицательная этажность в лифте.

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел». При дальнейших расширениях множества целых чисел до рациональных и вещественных чисел для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел понятия «отрицательное число» не существует.

Построение отрицательных чисел

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

Положение отрицательных чисел на числовой оси (выделены красным)

Для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$ существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое ${\displaystyle -n}$, которое дополняет ${\displaystyle n}$ до нуля:

${\displaystyle n+(-n)=0.}$

Оба числа называются противоположными друг для друга. Далее натуральные числа будут называться «положительными», в противовес «отрицательным». Если ${\displaystyle n}$ положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе^[1]. Аналогично определяются положительные и отрицательные значения для рациональных и вещественных чисел: каждому положительному числу ${\displaystyle a}$ сопоставляется отрицательное ${\displaystyle -a.}$

Наглядное представление сложения положительных и отрицательных чисел. Бо́льшие кружки представляют собой числа с большей абсолютной величиной.

Для отрицательных чисел, как и для положительных, определена упорядоченность, позволяющая сравнивать одно число с другим. Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль, а также меньше, чем положительные числа. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля.

Абсолютной величиной для числа ${\displaystyle a}$ называется это число с отброшенным знаком^[2]. Обозначение: ${\displaystyle \left|a\right|.}$

Примеры: ${\displaystyle \left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0}$

Вычитание числа ${\displaystyle a}$' из другого числа ${\displaystyle b}$ равносильно сложению ${\displaystyle b}$ с противоположным для ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle b-a=b+(-a).}$

Пример: ${\displaystyle 25-75=-50.}$

О том, как выполнять арифметические операции с отрицательными числами, см. Целое число#Алгебраические свойства.

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, деление −24 на 5 с остатком допускает два представления:

${\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1;\ -24=5\cdot (-4)-4}$

Правильным является только первое из них, в котором остаток неотрицателен.

Вариации и обобщения

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

• Целые числа
• Рациональные числа
• Вещественные числа

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Исторический очерк

См. также: Развитие числовой системы в исламском мире

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в до н. э.), а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта (III в н. э.), признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными, он определил все четыре операции с отрицательными числами.

В исламский мир отрицательные числа пришли из индийских работ. В X веке, Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для раскрытия скобок в произведении выражений вида ${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$, а аль-Караджи в своей книге «Аль-Фахри» отметил, что «отрицательные величины должны учитываться как отдельные члены». Позже, Абу аль-Вафа аль-Бузджани в своём труде "Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и купцов" рассматривал долги как отрицательные числа^[3]. В XII веке преемники аль-Караджи, такие как Самуил Марокканский, сформулировали общие правила работы с отрицательными числами и использовали их при делении многочленов^[4]. Термины positivus и negativus (положительный и отрицательный) пришли в Европу из перевода книги «Мухаммедов трактат по арифметике» Аль-Кушчи.

В Европе признание наступило гораздо позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что ${\displaystyle 0-4=0}$, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»^[5]. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция ${\displaystyle 1:(-1)=(-1):1}$ — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность^[6]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)^[7].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Знаменитые отрицательные числа

Число	Смысл числа	Примечания
−273,15 °C	Абсолютный нуль температуры	Это ноль градусов по шкале Кельвина.
−1,602 176 565·10−19 Кл	Заряд электрона	Элементарный заряд может быть и положительным — у протонов и позитронов.
−2,7·10−9	Константа де Брёйна — Ньюмана	Числовое значение — по сведениям 2000 года.

См. также

• Дополнительный код (представление числа)