Противоположное число

Противоположное число ${\displaystyle n'}$ по отношению к числу ${\displaystyle n}$ — это число, которое при сложении с ${\displaystyle n}$ даёт ноль. Данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.

${\displaystyle n+n'=0}$

Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

${\displaystyle n'=-n}$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу ${\displaystyle n}$ обозначают ${\displaystyle -n}$.

Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число 0.

Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное −7.

Противоположное к комплексному

Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число ${\displaystyle (z)}$	Противоположное ${\displaystyle (-z)}$[1]
Алгебраическая	${\displaystyle x+iy}$	${\displaystyle -x-iy}$
Тригонометрическая	${\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$	${\displaystyle -r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$
Показательная	${\displaystyle re^{i\varphi }}$	${\displaystyle -re^{i\varphi }}$

__________Обозначение__________ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ (комплексное число), ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R} }$ (действительная часть комплексного числа), ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R} }$ (мнимая часть комплексного числа), ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, ${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (модуль комплексного числа), ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$ (аргумент комплексного числа), ${\displaystyle e}$ — основание натурального логарифма.

Противоположное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это ${\displaystyle \pm i}$.

Число	Равенство противоположного и обратного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
${\displaystyle i}$	${\displaystyle -i={\frac {1}{i}}}$	${\displaystyle -i=i^{-1}}$
${\displaystyle -i}$	${\displaystyle i=-{\frac {1}{i}}}$	${\displaystyle i=-i^{-1}}$

__________Доказательство__________ Покажем доказательство для ${\displaystyle i}$ (для ${\displaystyle -i}$ аналогично). Используем основное свойство дроби: ${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}$ Таким образом, получаем ${\displaystyle -i={\frac {1}{i}}}$__или__${\displaystyle -i=i^{-1}}$ Аналогично для ${\displaystyle -i}$: __ ${\displaystyle i=-{\frac {1}{i}}}$ __ или __ ${\displaystyle i=-i^{-1}}$